由基本关系式
v
dr dt
a
dv dt
有： dx i dy j dz k
dt dt dt
a dx i dy j dz k
(B)
dt dt dt
比较(A)(B)两组式子，有：
vx
dx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
思考：
(B)式中为 什么没有 出现
di dj dk dt dt dt
ax
解 自然坐标中
s a —— 微分法（t为变量）
根据速度和加速度的表示形式，有
v
ds dt
20（第0.4一t 类t1问题19）.6
m/s
aτ
dv dt
0.4
an
v2 R
( 20 0.4t R
)2
1.92
a
aτ2
an2
0.42 1.922
a 1.92n 0.4
方向变化
切向加速度
大小变化
v (t)τ
v
v(t t)τ
1、匀速圆周运动 （速度大小不变方向变）
(t t)
(t)
r
R
(t) (t t)
oR
lim lim
r 2
a
t 0
t
t 0
t
R
R
（沿法向）
a
2
n
R
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第一章 质点运动学
8
2、变速圆周运动
将 分解 为两个分量
n
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
微分法 r 积分法
微分法 积分法
a
r
a
a r
第一类问题（微分法） 第二类问题（积分法）
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第一章 质点运动学
3
例 已知质点沿x轴运动， 1 2t2 m s , t =0 时，质点在原点
右方2m处。 求：(1) 质点在t=2s时的加速度； (2) t=2s时，质点的位置。
dv x dt
d2x dt 2
ay
dv y dt
d2 y dt 2
az
dv z dt
d2z dt 2
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第一章 质点运动学
2
总结
三个基本量 r a 从不同方面描写同一质点
运动的规律。三者之间有着密切的联系：
1、相同点 a) 均为矢量（方向性） b) 均为时间t 的函数（瞬时性） c) 在不同的参照系中，各矢量的大小方向不同（相对性）
§1-3 用直角坐标表示位移、速度和加速度
直角坐标系
y
z
j o
i
k
i jk
分别是x、y、z方 向的单位矢量
x
r a
在直角坐标系中可写成：
r
xi
x
i
yj y
zk
j
z
k
(A)
a axi ay j azk
大小
2 x
2 y
2 z
a
ax2
a
2 y
az2
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第一章 质点运动学
1
m
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第一章 质点运动学
4
例 质点沿x轴运动，加速度 a 2t ，已知t＝0时，质点的位置
坐标 x0 0 ，速度 0 0 ，试求t＝2s时质点的速度和位置。
解 ∵ a＝2t 是变量， 不能用匀变速直线运动公式
a x 积分法
(1) 由定义： a d 2t
dt
分离
变量
t
d 2tdt
v0
g
∴ 02 cos2
g
•
O
B点： a g
an
g cos
2
02
∴
02
g cos
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第一章 质点运动学
B gx
11
例 一汽车在半径R=200m 的圆弧形公路上行驶，其运动学方 程为s =20t - 0.2 t 2 (SI) .
求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度。
0
0
∴ t2 t2 4 m s
(2) 由定义： dx t2
dt
x
dx
t t2 dt
0
0
x 1t3 3
8 t2 3
m 2.67
m
注意
✓ 积分初始值（下限）由初始条件确定 ✓ 等式两边积分变量的积分限一一对应
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第一章 质点运动学
5
例 已知质点匀加速直线运动，a为常数，t＝0时 x x0，
解 首先判断质点作什么运动？
初速度不为零的变加速直线运动
(1) a 微分法 (2) x 积分法
a d
dt
4t
t2
8
m
s2
由定义： dx 1 2t2 分离变量 dt
x
dx
t
(1
2t
2
)dt
2
0
等式两端分别积分： x 2 t 2 t3
3
x 2t 2t3 3
t2
9.33
lim lim lim a
n
t0 t t0 t t0 t
(t t)
(t)
OR
按照加速度的矢量定义，加速度既应反映速
度大小的变化率，又应反映速度方向的变化率。
a
an
a
2
n
d
R dt
(t)
an
dn
dt
2
R
n
——法向加速度 (t t)
n
a
d
dt
d
dt
——切向加速度
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B
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讨论 1) 切向加速度 a沿切线，法向加速度 an指向曲率中心，
2)
注意
d
dt
∴质点总加速度 a
d d 的区别
dt dt
永指向曲线凹向的一侧。 a a a
3) 自然坐标系中
微分法
s
微分法
积分法
积分法
a
例 抛体运动：求A、B两点的曲率。 y
A
解 由题意：
A点： an a
g
2
0
cos
第一章 质点运动学
9
3、一般曲线运动
在一般曲线运动中，速度方向 变化快慢与轨道形状有关，
显然，轨道弯曲越厉害，速度方向变化越快。
如何描述曲线弯曲的程度？ ———曲率半径
B P
曲率半径越小，曲线就越弯。
A
R
an
dn
dt
2
n
（指向曲率中心）
B
a
d
dt
d
dt
（沿切向）
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第一章 质点运动学
解 （x为参变量） 由定义： axaddxx ddxdd
ax
1 2
(
2
02 )
0
dt0
2 02 2ax x2 02 4a
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第一章 质点运动学
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§1-4 用自然坐标表示平面曲线运
动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 s 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运
O n
动方程为： s s(t)
单位切向量： 长度为1，沿切向指向运动方向
单位法向量 n： 长度为1，沿法向指向凹的一侧
S n
一、速度 大小： ds
方向：沿切向dt（）
ds
dt
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第一章 质点运动学
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二、加速度 用以描述速度随时间 t 变化的规律
a a an 法向加速度
0，求质点的速度方程和运动方程。
解 由题意 a x 积分法 （t为参变量）
由定义： a d dt
t
d adt
0
0
∴ 0 at （速度方程）
由定义： dx dt
x
t
t
dx
x0
dt
0
0(0 at)dt
∴
x
x0
0t
1 2
at
2
（运动方程）
若变换初始条件:已知x＝0时， 0，求x＝2m处， ?