)2
3
二．质点的位移和路程
r1 r (t)
r2 r (t t)
r r(t t) r(t)
r
r
z
P1
·
ΔS
Δr
·P2
r(t) r(t+Δ t )
0
y
x
Δr
r(t) Δr
0 r(t+Δt )
4
§2. 质点运动的速度和加速度
一．质点在直线运动中的速度和加速度
a

v

v1
v
t t
瞬时加速度

v dv
a lim
t0 t dt

v1
v(t

t)
v v(t)
6
v

dr

dx
i
dt dt
a

d
( dr )
d
(
dx
)i

d
2
x
i
dt dt dt dt dt 2
x x(t)
第一章．质点运动学
§1. 质点的位置矢量（位矢）和位移 §2. 质点运动的速度和加速度 §3. 速度和加速度在自然坐标系中的分量 §4. 相对运动
1
§1. 质点的位置矢量（位矢）和位移
一．质点的位矢和轨迹
r r(t)
z z( t )
P( t )
·
r

xi

yj

zk
x x(t)
vx
vx0
t
0 axdt

t
vy
P1
·
P2
· v (t+Δ t )
r(t)
r(t+Δ t )
0
y
x
v (t ) Δv
v (t+Δ t )
16
三.速度,加速度矢量在直角坐标系中的分量
r

xi

yj

zk
v

dr dt

dx dt
i

dy dt
j

dz dt
k

vxi

vy
j

vzk
vx

dx dt
r1

x1i
r2

x2i
r

r2

r1

(x2

x1 )i

xi
平均速度
v

r

x
i
t t
瞬时速度
v lim
r

dr

dx
i
t0 t dt dt
5
瞬时速度
v

lim
r

dr

dx
i
t0 t dt dt
平均加速度
ds
l dl
s2 h2
v

dt l 2 h2 dt
s
v0
a dv [ d ( dt dl
l2
l h2
v0 )]
dl dt

h 2v02 s3
14
二. 质点作曲线运动的速度和加速度
r

r (t

t)

r (t)
v r
t
v

lim
r

dr
t0 t dt
z
P1
·
ΔS
Δr
·P2
r(t) r(t+Δ t )
0
y
v dr ds v
x
dt dt
15
v v(t t) v(t)
a

lim
t0
v t

dv dt

d 2r dt 2
a v t
v v
z
v (t )
v dx dt
a d2x dt 2
7
例. 某质点运动学方程为
r


A

(t

t
2
)B
, , 为常数，
A, B 为常矢量。试证
明它作匀加速直线运动。
解：
v

dr

(


2t)B
dt
a

dv


2B
dt
8
例. 质点在x轴上作周期运动
x 2sin t
ay

dv y dt
d2y dt 2
az

dv z dt

d2z dt 2
19
加速度大小
a
a
2 x

a
2 y

a
2 z
cos ' ax , cos ' ay , cos ' az
a
a
a
20
例 求质. 质点点v的,运a 。动学方程为
r

4ti

6t
2
j

8k
4
所有单位均为SI，试求（1）什么时刻质 点对原点位移数值最小？（2）什么时刻 质点运动速度数值最小？在什么位置上？
9
例. 人高h站在离地高H的塔吊吊灯下，当 塔吊带着灯以速度v0开走，灯从人头顶掠 过，求人头顶在地上的影子运动的速度多 大？
10
解： x1 v0t
H x1 x h x
cos vx , cos vy , cos vz
v
v
v
18
a

dv

dvx
i
dv y
j
dvz
k
dt dt dt dt

d
2x
i

d
2
y
j

d
2z
k
dt 2 dt 2 dt 2
axi ay j azk
ax

dvx dt

d2x dt 2
dt dt
dr x dx dt r dt
dr dt v0
dx v dt
x cos
r
v v0
cos
12
习题. 在离水面高度为h的岸边上，有 人用绳子拉船靠岸，收绳的速率恒为 vo, 求船在离岸边的距离为S时的速度 和加速度。
13
dl vo dt
s l2 h2
x hx1 hv0t H h H h
v dx hv0 dt H h
11
例. 如图所示，一人站在河岸上，手握绳之一
端，另一端系一小船，那人站着不动，以手
收绳。设收绳速率 v0 恒定，求当绳与水面夹
角为 时，船向岸靠拢的速度 v
解： r 2 x 2 h2 2r dr 2x dx
,
v
y

dy dt
,
v
z

dz dt
17
v

dr dt

dx dt
i

dy dt
j

dz dt
k ຫໍສະໝຸດ xivy j

vzk
速度的大小
v
2 x

v
2 y
vz2

( dx )2 ( dy )2 ( dz )2 dt dt dt
vx v cos, vy v cos , vz v cos
解：
v

4i
12tj
a

12
j
21
四．由速度和加速度求位矢
vx

dx dt , vy

dy dt , vz

dz dt
ax

dvx dt
ay
dvy dt
az

dvz dt
x x0
t
0 vx dt

t
y

y0
0 v y dt
z


z0

t
0 vz dt
r( t ) ^z ^y ^x x( t ) O
y( t ) y
y y(t) 运动学方程 x
z z(t)
f (x, y, z) 0 质点运动的轨迹
2
例. 平抛体运动学方程为：x vot
y

h0

1 2
gt 2
求轨迹方程。
解：
x vot
y

h0

1 2
gt
2
y

h0

1 2
g(
x v0