说明： 1. 弥散关系表达了波浪运动中角频率、波 数k、水深d之间存在一定的关系； 2. 弥散现象：不同波长（或周期）的波 以不同的速度进行传播最后导致波的分 散现象； 3. 同时表明：波浪的传播与水深有关，水 深变化，波长（波速）也随之变化；
ω = gk th kd
2
gT c= th kd 2π
gT L= th kd 2π
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1 常深度小振幅简单波动
2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程 2.1.2 二维小振幅推进波的速度势 2.1.3 二维小振幅推进波的一些特性
2.2 常深度小振幅简单波动的迭加
2.2.1 驻波 2.2.2 波群
2.3 倾斜海底上波浪的传播
2.3.1 波浪的浅水效应 2.3.2 波浪的折射
中国海洋大学 海洋工程波浪力学 王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.3 二维小振幅推进波的特性
三 水质点的运动轨迹
（1）某水质点静止时位于(x0 z0 ) （2）在波浪中以速度dξ/dt、 dη /dt运动； （3）在运动瞬间，位于x=x0+ξ，z=z0+η;
z
dξ ∂ϕ = ux = =x dt ∂x x= z 0 z
波数
中国海洋大学 海洋工程波浪力学
c
z
η=acos(kx- ωt) x
L
d
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.2二维小振幅推进波的速度势
一 波面方程的假定
（2）当t增减一个周期T，同一点的波面高度η不变；
η t = η t ±T
a cos(kx − ωt ) = a cos[kx − ω(t + T )]
c z η=acos(kx- ωt) t d
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海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.2二维小振幅推进波的速度势
二 推进波的速度势
ϕ = A( z ) sin(kx − ωt )
A( z ) = A1e + A2e
kz − kz
∂ϕ ∂ϕ ∇ ϕ= 2 + 2 =0 ∂x ∂z
kz
ux,uz
z/d
ωH
2
－1
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海洋工程波浪力学
王树青
η = a cos(kx − ωt )
ux =
πH sh k ( z + d ) π H ch k ( z + d ) sin( kx − ω t ) cos( kx − ω t ) u z = sh kd T T sh kd
中国海洋大学
小量
∂ϕ z=η + gη = 0 ∂t
1 ∂ϕ η= − z=η g ∂t
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
边界条件的线性化
运动边界条件 动力边界条件
∂ϕ ∂η ∂ϕ = z=0 z=η = ∂z ∂t ∂z
海洋工程波浪力学 王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.3 二维小振幅推进波的特性
二 水质点的运动速度和加速度
特例：水深为无限的情况
gH kz ϕ= e sin(kx − ωt ) 2ω
0
ux =
uz =
ωH
2
e kz cos(kx − ωt )
e sin(kx − ωt )
kz
− kz
) sin(kx − ωt )
（1）海底边界条件
∂ϕ uz z=−d = z=−d = 0 ∂z
A2 = A1e
2 kd
ϕ = 2 A1e
− kd
chk ( z + d ) sin(kx − ωt )
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王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
c
∂η ∂η ∂ϕ ∂ϕ + z=η = z=η ∂t ∂x ∂x ∂z
∂ϕ ∂η z=η = ∂z ∂t
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
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第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
边界条件的线性化
2. 自由表面的动力边界条件
1 ∂ϕ + (∇ϕ ⋅ ∇ϕ) + gη = 0 ∂t z =η 2 z =η
中国海洋大学
z =0
=0
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第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.2二维小振幅推进波的速度势
一 波面方程的假定
η = a cos(kx − ωt )
其中a为振幅，a＝H/2; kx-ωt=θ为波浪的相位。
c
z a
η=acos(kx- ωt) x d
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中国海洋大学工程学院海洋工程系 王树青
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海洋工程波浪力学
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目 录
第一章 液体表面波基本方程 第二章 小振幅波（线性波）理论 第三章 有限振幅波（非线性波）理论 第四章 小尺度结构上的波浪力 第五章 大尺度结构上的波浪力 第六章 随机波浪和随机波浪力
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
海洋工程波浪力学
王树青
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海洋工程波浪力学
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第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.3
二维小振幅推进波的特性 ϕ =
gH chk(z + d) sin(kx− ωt) 2ω chkd
二 水质点的运动速度和加速度 ∂u x gHk ch k ( z + d ) ax = = sin( kx − ω t ) ∂t 2 ch kd
王树青
2
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.3
二维小振幅推进波的特性 ϕ =
gH chk(z + d) sin(kx− ωt) 2ω chkd
二 水质点的运动速度和加速度
gHk ch k ( z + d ) ∂ϕ ux = = cos( kx − ω t ) ∂x 2ω ch kd
2 π 2 H ch k ( z + d ) sin( kx − ω t ) = 2 T sh kd
∂u z gHk sh k ( z + d ) =− cos( kx − ω t ) az = ∂t 2 ch kd
2 π 2 H sh k ( z + d ) cos( kx − ω t ) =− 2 T sh kd
2.1.2二维小振幅推进波的速度势
二 推进波的速度势
ϕ = 2 A1e
− kd
chk ( z + d ) sin(kx − ωt )
gaekd A1 = 2ω ch kd
（2）自由表面运动边界条件
1 ∂ϕ η= − z=0 g ∂t
ga chk ( z + d ) ϕ= sin(kx − ωt ) ω chkd
uz gHk sh k ( z + d ) ∂ϕ = = sin( kx − ω t ) ∂z 2ω ch kd
π H ch k ( z + d ) ux = cos( kx − ω t ) T sh kd
uz
中国海洋大学
π H sh k ( z + d ) = sin( kx − ω t ) T Sh kd
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
假定
（1）无粘不可压均匀流体； （2）有势运动； （3）重力是唯一外力； （4）自由表面压强为大气压； （5）海底为水平的固体边界； （6）振幅或波高对波长为无限小（流体质点运动速度较 小）——Airy波理论；
d z η=acos(kx- ωt) x
z =0
=0
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第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
∂ϕ ∂ϕ 2 ∇ ϕ= 2 + 2 =0 ∂x ∂z
2 2
z
η=acos(kx- ωt) x d
c
∂ϕ uz z=−d = z=−d = 0 ∂z
1 ∂ϕ η=− g ∂t
z =0
∂ ϕ 1 ∂ 2ϕ ( + ) 2 ∂z g ∂t
0
SWL
x
η
(ξ, η )
dη ∂ϕ = uz = =x dt ∂z x= z 0 z
0
( x0 , z 0 )
ξ
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c
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第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
边界条件的线性化
1. 自由表面的运动边界条件
∂ϕ ∂z
∂η ∂η ∂ϕ + z=η = ∂t ∂x ∂x
∂η ∂ϕ z=η + ∂y ∂y
小量
z=η
z η=acos(kx- ωt) x d
∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ( ) z=0 +L z=η = z=0 + η ∂z ∂z ∂z ∂z ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ( ) z=0 +L z=η = z=0 + η ∂t ∂t ∂z ∂t