思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。

答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。

（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。

2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？答：按照波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。

如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子(r的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)ψ而完全确定。

(r由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。

从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。

3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。

答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示。

可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。

4、（1）波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？221122112121;;ψψψψψψααi i e c e c c c +++这里21,c c 是复常数，21,αα是实常数。

答：（1）ψ与ψk 、ψαi e 描述的相对概率分布完全相同，如对空间1x 和2x 两点的相对概率=221)()(x x ψψ=221)()(x k x k ψψ221)()(x e x e i i ψψαα，故ψ与ψk 、ψαi e 均描述同一态。

（2）由于任意复数θi e c c =， 以及2*12*1*21*2122221122211ψψψψψψψψc c c c c c c c +±+=± 显然，只有当复数c c c ==21，即c c c ==21，且αααi i i e e e ==21时，αααψψψψψψψψψψi i i e c e c e c c c c )(),(,2122112122112121+=++=++均描述同一态。

5、量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的？答：用算符表示力学量，是量子体系所固有的波粒二象性所要求的，这正是量子力学处理方法上的基本特点之一。

我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波，因此，即是在一确定的量子态中，也并非各力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分布，这就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使用，因此需要寻求新的表示方法。

下面从力学量的平均值的表示式出发，说明引入算符的必要性。

如果体系处于)(x ψ中，则它的位置平均值为 xdx x x 2)(⎰=ψ 类似地，它的动量的平均值也可表示为 pdx x p 2)(⎰=ψ若要求出上述积分，必须将p 表示为x 的函数，然而这是做不到的，因为按不确定关系p(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中用上式求动量平均值。

我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后再转换到坐标表象中去。

p d p p p 2)(⎰=ϕ 利用⎰-=dx e x p ipx /2/1)()2(1)(ψπϕ有 ⎰⎰⎰''=-'dxdp x d e x p x e p ipx x ip/*/)()(21ψψπ作代换//ipx ipx e xi pe --∂∂=，并对x p ',积分得（推广到三维） τψψd r i r p )())((*∇-=⎰可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符∇- i 相当。

实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。

用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。

我们知道，在量子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间一般并不满足交换律，也就是存在不对易情况，因此用算符表示力学量是适当的。

力学量必须用线性厄密算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学量必须由厄密算符来表示。

6、力学量之间的对易关系有何物理意义？答：力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系。

它相当于旧量子论中的量子化条件，具有深刻的物理含义。

对易关系表明，经典因果性不是普遍成立的，并指出各类力学量能够同时确定的条件（相互对易），体现了量子力学的基本特点。

与不确定原理一样，力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二象性。

从纯理论的角度说，它也可以作为量子力学的基本出发点。

此外，对于有的力学量，对易关系反映了它的基本特征，如γαβγβαεL i L L =],[，就可作为角动量的定义。

7、什么是力学量的完全集？它有何特征？答：设有一组彼此独立而又相互对易的力学量（ ,,21F F ），它们的共同本征函数系为),,(21 n n ϕϕ，如果给定一组量子数),,(21 n n 就可以确定体系的一个可能态，那么，就称（ ,,21F F ）为体系的一个力学量完全集。

它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组),,(21 n n 所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。

8、何谓定态? 它有何特征？答：定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。

若势场恒定0=∂∂tV ，则体系可以处于定态。

定态具有以下特征:（1）定态波函数时空坐标可以分离， /)(),(iEt e r t r -=ψψ，其中)(r ψ是哈密顿量H 的本征函数，而E 为相应的本征值；（2）不显含时间t 的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变化，各种可能值出现的概率分布也不随时间而变化。

注意，通常用)(r ψ表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒子状态的波函数都是含时的。

9、不确定关系如何体现微观粒子的普遍本质——波粒二象性？答：对于微观粒子使用“波粒二象性”的术语，这本身既反映了经典物理概念的局限性，又反映了我们语言的局限性。

我们可以认为，物质兼具粒子性和波动性，但确切地说，它们既不是经典波，也不是经典粒子，经典物理中粒子和波的概念只有经过修正才能被量子理论借用，不确定性关系就反映了这种修正，它给出了这两个概念能够被有效借用的限度，如2≥∆⋅∆p x 给出了用粒子图像描述物质的局限性。

10、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。

答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。

具体说，如果力学量A 的本征函数为n ϕϕϕ ,,21，相应本征值为n A A A ,,21。

任意态矢ψ可展开为∑=nn n a ψψ态矢ψ在A 表象的表示为展开系数{}n a 组成的一列矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a 21ψ其意义是：在ψ态中，力学量A 取值n A 的几率为2n a ，与坐标表象波函数的意义相类似。

力学量用厄密矩阵表示⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A212222111211 ),(j i ij A A ϕϕ= 可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。

用矩阵表示力学量，理由如下：（1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。

设)()(x A x ψϕ=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a21 简记为Aa b =； （2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求；（3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。

11、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A A A A 00000021本征矢为单一元素列矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011 ϕ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102 ϕ ………12、狄拉克符号中，引入了右矢>，为什么又引入左矢<，右矢和左矢能够相加吗？答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函数ϕ和ψ的内积⎰=τψϕψϕd *),(，>ϕ|和>ψ|的内积记为><ψϕ|，|ϕ<是对应于>ϕ|的左矢，属于伴随空间的一个矢量。

由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。

13、（1）∧+∧++∧∧=<>A B B A |)|(ψψ（2）>>=ψλλψ||（3）如>ψ是∧F 的本征矢，则||ψψ<'=<∧F F（4）算符||n n P n ><=的物理意义是什么？公式∑=<nn n 1|.|成立的条件是什么？答：算符||n n P n ><=的物理意义在于，它作用于任何态矢上得到该态矢在基矢>n |方向的投影矢量，>>=><>=n A A n n A P n n ||||；且n n P n n n n n n P =><=><><=|||||2，故||n n P n ><=称为投影算符，>=<A n A n |是投影数值。

公式∑=<nn n 1|.|成立的条件是基矢集{}>n |组成正交、归一、完备系，任意态矢均可按{}>n |唯一展开><>>=>=∑∑A n n n A A nn n||||，由于>A |为任意态矢，故得到∑∑=><=nnn n n P 1||，此式可作为完全集的定义式，称为封闭性关系。