2
2 V (r ,t)
t 2m
2
（2）定态： 2 V (r ) E
2m
8、判断定态与非定态、判断束缚态与非束缚态
定态：（1）
(r,t)


(r
)e

i
Et
（2）E具有确定值
判断束缚态与自由态
1、由粒子受到的势场决定
在处，V与E 哪个大：V>E束缚态；V<E自由态
2、波函数
在处，0束缚态； 在处，不趋于0自由态；
9、不确定度关系的物理意义。
[Fˆ ,Gˆ ] ikˆ
(F )2 (G)2 k 2 4
(1)不确定度关系是波粒二象性的必然反映
(2)不确定度关系是用经典力学方法描述微观粒子的限制
(3)不是所有的力学量可以同时有确定值。
二、量子效应
4、全同性原理：全同粒子所组成的体系中，二全同粒 子互相代换不引起体系物理状态的改变。 5、全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称。 对称：玻色子 ，遵循玻色统计规律 反对称：费米子，遵循费米统计规律
6、如何用单粒子表示全同粒子体系波函数
ni !
玻色子：
S n1
nN

i
N!
P[k1 (q1)
波函数的两个特性：常数因子不定性、位相因子不定性;
6、几率流密度矢量
j i [ * * ]
2m
j 0 （概率守恒的微分表示式）
t
d t


S
jndS（概率守恒的积分表示式）
——各项的物理意义
7、薛定谔方程
两种类型：（1）含时：i
量子力学的基本假定
微观体系的状态用一个波函数完全描述。
体系的状态波函数满足薛定谔方程。
力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密 算符表示，它们的本征函数组成完全系，当体系 处于波函数 时，可用某力学量算符的本征函数 展开( cnn cd )，测量力学量所
(r1, s1; ; rN , sN ) (r1, , rN )(s1, , sN )
对两个电子体系，

A

A S
S A
(1) s

1 (S1z ) 1
(S2z )
2
2
(2) s

1 (S1z )1 (S2z )
2
2
(3) s

1 2
[

(r, sz )
(r, )
2


(r , )

2
在 Sˆ 2 , Sˆz 表象中
sˆx

2
0

1
1 0
sˆy

0
2

i
i
0

sˆz

1
2

0
0 1
sˆ2

32 4
1

0
0
1

3、全同粒子的特点：（1）固有性质完全相同； （2）不可区分性。
1、零点能： 2、能量量子化： 3、隧穿效应 三、力学量 1、量子力学中力学量的特点：多值性、制约性 2、量子力学中力学量如何用算符表示 Fˆ (rˆ,i) 3、力学量算符满足的条件：线性厄密算符
4、线性厄密算符的特点： （1）本征值必为实数（证明）； （2）本征函数组成正交归一完全系（证明）； （3）有共同本征函数系，则 [Fˆ ,Gˆ ] 0 ； （证明） （4）有关厄密算符的证明
P
kN (qN )]
费米子： A k1k2
kN (q1, q2 ,
, qN )
k1 (q1) 1 k2 (q1)
N!
k1 (q2 ) k2 (q2 )
kN (q1) kN (q2 )
k1 (qN ) k2 (qN )
kN (qN )
在无自旋-轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略 时，体系总波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘积形式：
2、氢原子核外电子的几率分布
nl (r) Rn2l (r)r 2
nl(r)称为径向位置几率分布或径向分布函数。 使 nl(r)取最大值的半径称为最可几半径 。
lm ( ) Ylm ( ,) 2 ——角分布几率
角分布与无关，即几率分布对z轴是旋转对称的。
(1)、旧量子论与量子力学中关于描述氢原子核外电 子分布问题的区别和联系。
n
得数值，必是算符的本征值之一。
全同性原理。
另外，在非相对论量子力学中，自旋也是作为一假 定引进的。
基本概念：
一、波函数
1、为什么要用波函数描述微观粒子的运动状态？
2、如何完全描述体系的运动状态？
3、几率波和经典波，经典粒子和量子力学中的微观 粒子的异同？ 4、波函数的统计解释？
5、波函数的标准条件：有限、单值、连续
三维 Hˆ x Hˆ y Hˆ z ~ nx (x) ny ( y) nz (z) E ;0时
能量本征值：En



2
e4
2
1 n2
e2 2a
1 n2
相应本征函数： nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm ( ,)
(Fˆ )2 (Gˆ )2 k 2 4
(Fˆ )2 F 2 F 2
两力学量同时有确定值的条件：
（1）对易；
（2）体系恰好处在其共同本征态上。
7、一维 Hˆ x ~ n (x)
En
二维 Hˆ x Hˆ y ~ nx (x) ny ( y)
E Enx Eny
dt
六、微扰
定态微扰： (1)、在未加入微扰时，能级非简并，加入微扰 后能级发生移动，上升或下降；
(2)、在未加入微扰时，能级简并，加入微扰后 能级发生分裂（部分或全部分裂）。
能级简并部分或全部消除
七、自旋与全同粒子 1、自旋的两个基本假定
（1）sz 2
（2）
s


e mc
s
2、考虑自旋后，描述电子运动状态的波函数由下表示
4、分析三大体系的本征值、本征函数、简并度。
5、 rˆ, pˆ,lˆ,lˆ,lˆ2, sˆi,ˆi 的对易关系运算
6、已知，求F 的可能取值、平均值、几率；
7、微扰论基础
8、给定一波函数，判断是否是 Fˆ 的本征函数。 9、微扰理论要分清是简并还是非简并，灵活运用公式。 11、正确写出全同粒子体系的波函数。

1 2
(
S1z
)

1 2
(S2
z
)



1 2
(S1z
)

1 2
(
S2
z
)
]
(4) A

1 2
[

1 2
(
S1z
)


1 2
(
S2
z
)



1 2
(
S1z
)
1 2
(S2
z
)]
基本类型： 1、简述/简答/填空 2、解薛定谔方程，写出通解，利用标准条件。
3、已知波函数，求归一化常数、几率密度, max,
n 1,2,3,; l 0,1,2,, n 1; m 0,1,,l
2
玻尔半径：a
e2
Hˆ nlm (r, ,) En nlm (r, ,)

lˆ 2 nlm (r, ,) l(l 1)
2 nlm (r, ,)
lˆznlm (r,,) m nlm(r,,)
（5）氢原子简并度为n2，考虑自旋后简并度为2n2，考虑
自旋－轨道耦合后，简并度？
5、力学量F与算符 Fˆ 的关系：
6、力学量算符之间的对易关系
（1） [Fˆ ,Gˆ ] 0 必然存在一组构成完成系的本征函数。
6、力学量算符之间的对易关系 （1） [Fˆ ,Gˆ ] 0 必然存在一组构成完成系的本征函数。 （2）[Fˆ ,Gˆ ] ikˆ
(2)、氢原子的玻尔半径a ，从量子力学几率分布的观 点解释a的物理意义，并与玻尔的旧量子论的解释相比 较。
(3)、常用公式的Dirac符号表示
波函数归一化条件： | 1 平均值公式： A | Aˆ |
本征方程： Fˆ | |
薛定谔方程： i d | Hˆ |