最新高三（上）第一次段考数学试卷一、单选择题（共8题，每题5分，共40分）1. 已知集合A ={−2, 1}，B ={x|ax =2}，若A ∩B =B ，则实数a 值集合为( ) A.{−1} B.{2} C.{−1, 2} D.{−1, 0, 2}2. 已知z ＝1−3i 1+i，则|z|=( )A.√2B.2C.√5D.33. 设x ∈R ，则“x 2−5x <0”是“|x −1|<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. a →=(2, 1)，a →⋅b →=10，|a →+b →|=5√2，则|b →|=( ) A.√5 B.√10 C.5D.255. 函数f(x)=x 3e x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.6. 中国古代数学成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位．“算经十书”是汉、唐千余年间陆续出现的10部数学著作，包括《周髀算经》、《九章算术》、……、《缀术》等，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书．某中学图书馆全部收藏了这10部著作，其中4部是古汉语本，6部是现代译本，若某学生要从中选择2部作为课外读物，至少有一部是现代译本的概率是（ ） A.1315B.23C.815D.137. 函数f(x)=sin x +2|sin x|，x ∈[0, 2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ） A.(0, 1) B.(0, 3) C.(1, 3) D.(0, 2)8. 已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1=2，n 2a n+12−4(n +1)2a n 2−2(n +1)a n +na n+1=0，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2019=( )A.2019×22020+2B.2019×22020−2C.2018×22020+2D.2018×22020−2二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分）已知f(2x −1)=4x 2，则下列结论正确的是( ) A.f(3)=9 B.f(−3)=4C.f(x)=x 2D.f(x)=(x +1)2下列各式中，值为12的是（ ） A.cos 2π12−sin 2π12B.tan 22.5∘1−tan 222.5∘C.2sin 195∘cos 195∘D.√1+cos π62设随机变量X 服从正态分布N(μ, σ2)，且X 落在区间(−3, −1)内的概率和落在区间(1, 3)内的概率相等．若P(X >2)=p ，则下列结论正确的有（ ） A.μ=0B.σ=2C.P(0<X <2)=12−p D.P(X <−2)=1−p下列说法中正确的是（ ） A.AB →+BA →＝0→B.若|a →|=|b →|且a → // b →，则a →＝b →C.若a →、b →非零向量且|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D.若a → // b →，则有且只有一个实数λ，使得b →=λa →三、填空题（共4题，每题5分，共20分）曲线y =(x +2)e x 在点(0, 2)处的切线方程为________．(1x2−2x)6的展开式中的常数项为________．已知π2<α<π，0<β<π2，tanα=−34，cos(β−α)=513，则sinβ的值为________．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=6，a3+a9=14，数列{b n}满足b n=1S n−n，记{b n}的前n项和为T n，T n的最小值为t，若x+y=t(x, y>0)，则1x +4y最小值为________．四、解答题（共6题，共70分）已知函数f(x)＝cos2x+√3sin(π−x)cos(π+x)−12．求函数f(x)在[0, π]上的单调递减区间．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n−1(n∈N+)．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log4a n+1，求{b n}的前n项和为T n．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(a+c)2=b2+2√3ab sin C．（1）求B的大小；（2）若b=8，a>c，且△ABC的面积为3√3，求a．（银川质检）已知函数f(x)=ax−1−ln x(a∈R)．讨论函数f(x)的定义域内的极值点的个数；若函数f(x)在x=1处取得极值，∀x∈(0, +∞)，f(x)≥bx−2恒成立，求实数b的最大值．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．已知函数f(x)=e x−m⋅ln(x+1)，m∈R．（1）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）若m=4，证明f(x)有且仅有两个不同的零点．（参考数据：e e≈15.15）参考答案与试题解析最新高三（上）第一次段考数学试卷一、单选择题（共8题，每题5分，共40分）1.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】A∩B＝B，可以得到B⊆A，求出集合A的子集，这样就可以求出实数a值集合．【解答】解：A∩B=B⇒B⊆A，A={−2, 1}的子集有⌀，{−2}，{1}，{−2, 1}，当B=⌀时，显然有a=0；当B={−2}时，−2a=2⇒a=−1；当B={1}时，a⋅1=2⇒a=2；当B={−2, 1}，不存在a符合题意，∴ 实数a值集合为{−1, 0, 2}.故选D.2.【答案】C【考点】复数的模【解析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【解答】z＝1−3i1+i =(1−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−2i，则|z|=√5．3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式的解法【解析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果【解答】解：∴ x2−5x<0，∴ 解得0<x<5，∴ |x−1|<1，∴ 解得0<x<2，∴ 0<x<5推不出0<x<2，而0<x<2⇒0<x<5，∴ 0<x<5是0<x<2的必要不充分条件，即x2−5x<0是|x−1|<1的必要不充分条件．故选B.4.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算向量的模【解析】a→=(2, 1)，a→⋅b→=10，|a→+b→|=5√2，|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2=50，代入求解即可．【解答】解：∴ a→=(2, 1)，a→⋅b→=10，|a→+b→|=5√2，∴ |a→+b→|2=(5√2)2，即|a→|=√5，∴ |b→|2=25，即|b→|=5，故选：C5.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换函数的图象【解析】利用特殊点，即可判断；【解答】由x=0不在定义域内，x=−1时函数值为正数，图象在x轴的上方；当x趋向正无穷时，由于指数增长较快，因此函数值趋向于0．6.【答案】A【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=C102=45，至少有一部是现代译本包含的基本事件个数m=C41C61+C62=39，由此能求出至少有一部是现代译本的概率．【解答】某中学图书馆全部收藏了这10部著作，其中4部是古汉语本，6部是现代译本， 若某学生要从中选择2部作为课外读物，基本事件总数n =C 102=45，至少有一部是现代译本包含的基本事件个数m =C 41C 61+C 62=39， ∴ 至少有一部是现代译本的概率是p =m n=3945=1315．7. 【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 函数零点的判定定理【解析】先将解析式中的绝对值去掉，再利用数形结合来求解k 的取值范围． 【解答】解：由题意知：f(x)=sin x +2|sin x|={3sin x,0≤x ≤π−sin x,π<x ≤2π，其图象如右图所示：因为函数f(x)的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点， 所以k ∈(1, 3)，故选C ．8. 【答案】 C【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】将n 2a n+12−4(n +1)2a n2−2(n +1)a n +na n+1＝0因式分解后整理可推出a n+1n+1=2⋅a n n，即数列{a n n }是以a 11＝2为首项，以2为公比的等比数列，从而得a n ＝n ⋅2n，再根据错位相减法即可求得S n ． 【解答】因为n 2a n+12−4(n +1)2a n 2−2(n +1)a n +na n+1＝0，所以[na n+1+2(n +1)a n ][na n −2(n +1)a n ]+[na n+1−2(n +1)a n ]=0， 所以[na n+1+2(n +1)a n +1][na n+1−2(n +1)a n ]=0，因为数列{a n }的各项均为正数，所以na n+1−2(n +1)a n =0，即an+1n+1=2⋅a n n，又因为a 1=2，所以数列{an n}是以a11＝2为首项，以2为公比的等比数列，所以a n n＝2n ，即a n ＝n ⋅2n ，故S n ＝1⋅21+2⋅22+⋯+n ⋅2n ①， 2S n ＝1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1②，①-②得：−S n ＝21+22+⋯+2n −n ⋅2n+1＝2n+1−2−n ⋅2n+1＝(1−n)⋅2n+1−2， 所以S n ＝(n −1)⋅2n+1+2， 所以S 2019＝2018⋅22020+2．二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分） 【答案】 B,D【考点】函数解析式的求解及常用方法 函数的求值【解析】利用配凑法求出函数解析式，进而得解． 【解答】解：令t =2x −1，即x =t+12，∴f(t)=4(t+12)2=(t +1)2，∴f(3)=16，f(−3)=4，f(x)=(x +1)2. 故选BD . 【答案】 B,C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】利用二倍角公式以及三角函数的值，化简求解即可． 【解答】 对于A ，cos 2π12−sin 2π12=cos π6=√32； 对于B ，tan 22.5∘1−tan 222.5∘=12tan 45∘=12；对于C ，2sin 195∘cos 195∘=sin 390∘=sin 30∘=12；对于D ，√1+cos π62=√1+√322=√2+√32．【答案】 A,C【考点】正态分布的密度曲线 【解析】由正态分布曲线的对称性结合已知逐一核对四个选项得答案． 【解答】∴ 正态分布N(μ, σ2)关于x =μ对称，又X 落在区间(−3, −1)内的概率和落在区间(1, 3)内的概率相等， ∴ μ=0，故A 正确；∴ 正态分布N(μ, σ2)关于x =μ对称，∴ P(X >0)=12，则P(0<X <2)=P(X >0)−P(X ≥2)=12−p ，故C 正确；P(X <−2)=P(X >2)=p ，σ不确定，故B ，D 错误． 【答案】 A,C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由相反向量的定义可判断A ；由向量的模和向量共线的概念可判断B ；由向量的数量积的性质，以及向量垂直的条件，可判断C ；由向量共线定理可判断D ． 【解答】由AB →，BA →互为相反向量，则AB →+BA →=0→，故A 正确； 由|a →|=|b →|且a → // b →，可得a →=b →或a →=−b →，故B 错误；由a →、b →非零向量且|a →+b →|=|a →−b →|，两边平方可得a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2−2a →⋅b →+b →2，即a →⋅b →=0，所以a →⊥b →，故C 正确；若a → // b →且a →≠0→，则有且只有一个实数λ，使得b →=λa →，故D 错误． 三、填空题（共4题，每题5分，共20分）【答案】3x −y +2=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x =0处的导数，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答】由y =(x +2)e x ，得y′=e x +(x +2)e x =(x +3)e x ， ∴ y′|x=0=3，∴ 曲线y =(x +2)e x 在点(0, 2)处的切线方程为y =3x +2，即3x −y +2=0． 【答案】 240【考点】二项式定理及相关概念 【解析】由二项式的展开式的通项公式，整理，可令x 的指数为0，计算可得所求常数项． 【解答】(1x 2−2x)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r (1x 2)6−r (−2x)r =(−2)r C 6r x 3r−12， 由3r −12=0，可得r =4，即有展开式的常数项为16×15=240． 【答案】6365【考点】两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系 【解析】 【解答】解：∴ π2<α<π，tan α=−34，∴ cos α=−√cos 2αcos 2α+sin 2α=−√11+tan 2α=−45， ∴ sin α=√1−cos 2α=35. ∴ 0<β<π2， ∴ −π<β−α<0.又∴ cos (β−α)=513>0， ∴ −π2<β−α<0，∴ sin (β−α)=−√1−cos 2(β−α)=−1213，∴ sin β=sin [(β−α)+α]=sin (β−α)cos α+cos (β−α)sin α =(−1213)×(−45)+513×35=6365. 故答案为：6365． 【答案】9【考点】基本不等式及其应用 数列的求和 【解析】结合等差数列中项公式、通项公式与前n 项和公式可推出S n =n(n+3)2，故b n =2(1n −1n+1)，由裂项相消法可求得T n ，从单调性上知t =T 1=1，即x +y =1，再根据基本不等式中的“乘1法”即可得解． 【解答】由等差数列中项公式知，a 3+a 9=14=2a 6，∴ a 6=7， ∴ a 5=6，∴ 公差d =1，∴ 数列{a n }的通项公式为a n =a 5+(n −5)d =n +1， ∴ a 1=2，S n =n(a 1+a n )2=n(n+3)2，∴ b n =1S n −n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，∴ T n =b 1+b 2+...+b n =2[(1−12)+(12−13)+...+(1n −1n+1)]=2−2n+1，是单调递增数列， 故T n 的最小值为t =T 1=1， ∴ x +y =1，∴ 1x +4y =(1x +4y )(x +y)=5+(yx +4x y)≥5+2√y x ⋅4x y=9，当且仅当yx =4xy ，即x =13，y =23时，等号成立， ∴ 1x+4y 的最小值为9．四、解答题（共6题，共70分） 【答案】解∴ 由已知得：f(x)＝cos 2x −√3sin x cos x −12 =1+cos 2x 2−√32sin 2x −12=−sin (2x −π6)，由2kx −π2≤2x −π6≤2kx +π2，k ∈Z ，可得kx −π6≤x ≤kx +π3．k ∈Z ， 又x ∈[0, π]，∴ 函数f(x)在[0, π]的单调递减区间为[0, π3]和[5π6, π]．【考点】正弦函数的单调性 【解析】先对f(x)化简，然后求出函数所有的单调递减区间，再给K 赋值，使x 的范围在已知区间上，即可求解． 【解答】解∴ 由已知得：f(x)＝cos 2x −√3sin x cos x −12 =1+cos 2x 2−√32sin 2x −12=−sin (2x −π6)，由2kx −π2≤2x −π6≤2kx +π2，k ∈Z ，可得kx −π6≤x ≤kx +π3．k ∈Z ，又x ∈[0, π]，∴ 函数f(x)在[0, π]的单调递减区间为[0, π3]和[5π6, π]．【答案】∴ S n =2n −1(n ∈N +)，n ＝1，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝2n −1−(2n−1−1)＝2n−1．n ＝1时也成立．∴ a n ＝2n−1． b n ＝log 4a n +1=n−12+1=n+12，∴ {b n }的前n 项和为T n =n(1+n+12)2=n 2+3n 4．【考点】 数列递推式 数列的求和【解析】（1）由S n =2n −1(n ∈N +)，可得：n ＝1，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n −S n−1，即可得出．（2）b n ＝log 4a n +1=n+12，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】∴ S n =2n −1(n ∈N +)，n ＝1，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝2n −1−(2n−1−1)＝2n−1．n ＝1时也成立．∴ a n ＝2n−1． b n ＝log 4a n +1=n−12+1=n+12， ∴ {b n }的前n 项和为T n =n(1+n+12)2=n 2+3n 4．【答案】由(a +c)2=b 2+2√3ab sin C ，得：a 2+c 2+2ac =b 2+2√3ab sin C ，所以：a 2+c 2−b 2+2ac =2√3ab sin C ，即：2ac(cos B +1)=2√3ab sin C ， 所以有：sin C(cos B +1)=√3sin B sin C ， 因为C ∈(0, π)， 所以sin C >0，所以cos B +1=√3sin B ，即√3sin B −cos B =2sin (B −π6)=1， 所以sin (B −π6)=12． 又0<B <π， 所以：−π6<B −π6<5π6，所以：B −π6=π6，即B =π3． 因为12ac sin B =12ac ⋅√32=3√3，所以ac =12．又b 2=a 2+c 2−2ac cos B =(a +c)2−3ac =(a +c)2−36=64， 所以a +c =10，把c =10−a 代入到ac =12(a >c)中，得a =5+√13． 【考点】 余弦定理 【解析】（1）由余弦定理化简已知等式可得sin C(cos B +1)=√3sin B sin C ，结合sin C >0，利用两角差的正弦函数公式可求sin (B −π6)=12，结合范围0<B <π，可求B 的值．（2）利用三角形的面积公式可求ac =12，根据余弦定理即可解得a 的值．【解答】由(a+c)2=b2+2√3ab sin C，得：a2+c2+2ac=b2+2√3ab sin C，所以：a2+c2−b2+2ac=2√3ab sin C，即：2ac(cos B+1)=2√3ab sin C，所以有：sin C(cos B+1)=√3sin B sin C，因为C∈(0, π)，所以sin C>0，所以cos B+1=√3sin B，即√3sin B−cos B=2sin(B−π6)=1，所以sin(B−π6)=12．又0<B<π，所以：−π6<B−π6<5π6，所以：B−π6=π6，即B=π3．因为12ac sin B=12ac⋅√32=3√3，所以ac=12．又b2=a2+c2−2ac cos B=(a+c)2−3ac=(a+c)2−36=64，所以a+c=10，把c=10−a代入到ac=12(a>c)中，得a=5+√13．【答案】当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上没有极值点；当a>0时，f(x)在(0,+∞)上有一个极值点．1−1e2．【考点】利用导数研究函数的极值导数求函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−1x =ax−1x，当a≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减．∴ f(x)在(0,+∞)上没有极值点．当a>0时，由f′(x)>0得x>1a，∴ f(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增，即f(x)在x=1a处有极小值．综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上没有极值点；当a>0时，f(x)在(0,+∞)上有一个极值点．【名师指导】本题考查导数及其应用、不等式恒成立问题．通过对函数f(x)求导，结合参数a的取值范围分类讨论，由导函数的正负来确定其单调性，从而确定相应的极值点与极值点的个数；∴ 函数f(x)在x=1处取得极值，∴ f′(1)=a−1=0，则a=1，从而f(x)=x−1−ln x，∴ f(x)≥bx−2，即1+1x−ln xx≥b，令g(x)=1+1x−ln xx，则g′(x)=ln x−2x2，由g′(x)>0得x>e2，由g′(x)<0得0<x<e2，则g(x)在(0,e2)上单调递减，在(e2,+∞)上单调递增，∴ g(x)min=g(e2)=1−1e2，∴ 实数b的最大值是1−1e2．【名师指导】本题考查导数及其应用、不等式恒成立问题．根据函数f(x)在x=1处取得极值加以转化，进而确定参数a的值，得到函数f(x)的解析式，结合不等式恒成立分离参数，通过构造函数g(x)，并对其求导，确定其单调性与极值，进而确定参数b的最大值．【答案】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)(i)随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=C41C32C73=1235，P(X=2)=C42C31C73=1835，P(X=3)=C43C73=435，所以随机变量的分布列为：E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A发生的概率为67．【考点】互斥事件的概率加法公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列分层抽样方法【解析】(1)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；(2)若(I)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望；(II)利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)(i)随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=C41C32C73=1235，P(X=2)=C42C31C73=1835，P(X=3)=C43C73=435，所以随机变量的分布列为：随机变量X的数学期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A发生的概率为67．【答案】因为f′(x)＝e x−mx+1，x=0是f(x)的极值点，所以f′(0)＝e0−m0+1＝0，解得m=1，即f′(x)＝e x−1x+1，又因为y=e x与y＝−1x+1在(−1, +∞)上单调递增，所以当−1<x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，即f(x)在(−1, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增．因为当m=4时，f′(x)＝e x−4x+1在(−1, +∞)上单调递增，因为f′(0)=e0−4=−3<0，f′(1)＝e1−42＝e−2>0，所以存在x0∈(0, 1)，使得f′(x0)=0，即f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，另由f(0)=e0>0，f(1)=e1−41n2=ln e e−ln16<0，而f(2)=e2−4⋅ln3>0，所存在x1∈(0, 1)，x2∈(1, 2)，使得f(x1)=f(x2)=0，即f(x)有且仅有两个不同的零点．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出f′(x)，代入x=0可得m，进而利用导数求f(x)的单调性即可；（2）求出f′(x)可得其在(−1, +∞)上单调递增，通过零点存在性定理得存在x0∈(0, 1)，使得f′(x0)=0，进而可得f(x)在(0, +∞)上的单调性，接着通过判断f(0)，f(1)，f(2)的正负值，即可得f(x)的零点个数．【解答】因为f′(x)＝e x−mx+1，x=0是f(x)的极值点，所以f′(0)＝e0−m0+1＝0，解得m=1，即f′(x)＝e x−1x+1，又因为y=e x与y＝−1x+1在(−1, +∞)上单调递增，所以当−1<x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，即f(x)在(−1, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增．因为当m=4时，f′(x)＝e x−4x+1在(−1, +∞)上单调递增，因为f′(0)=e0−4=−3<0，f′(1)＝e1−42＝e−2>0，所以存在x0∈(0, 1)，使得f′(x0)=0，即f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，另由f(0)=e0>0，f(1)=e1−41n2=ln e e−ln16<0，而f(2)=e2−4⋅ln3>0，所存在x1∈(0, 1)，x2∈(1, 2)，使得f(x1)=f(x2)=0，即f(x)有且仅有两个不同的零点．。