3. E(t)和F(t)之间的关系
F(t) tdN tE(t)dt
0N 0
分布函数是密度函 数的可变上限积分
E(t) dF (t) 密度函数是分布函数的一阶导数
dt
t 0 F (0 ) 0 ;
t F ( )0E (t)d t 1 .0
4.1.2 停留时间分布的实验测定
• 停留时间分布通常由实验测定，主要的方法 是应答技术，即用一定的方法将示踪物加到反 应器进口，然后在反应器出口物料中检验示踪 物信号，以获得示踪物在反应器中逗留的时间 分布规律的实验数据。
在反应器入口处
c0 t 0
c0
t
c
t 0 t 0
在切换成含示踪剂的流体后，t-dt～t时间间隔内示
踪剂流出系统量为Qc(t)dt ，这部分示踪剂在系统内的
停留时间必定小于或等于t，任意的dt时间间隔内流入
系统的示踪剂量为Qc(∞)dt ，由F(t)定义可得
F(t)QQcc( t)ddtt cc( t)
提出可能的流动模型，并根据停留时间分布测定的 实验数据来确定所提出的模型中所引入的模型参数； • 3、结合反应动力学数据通过模拟计算来预测反应结 果； • 4、通过一定规模的热模实验来验证模型的准确性。
4.2.1 常见的几种流动模型
一、 理想流动模型
1. 平推流模型
根据平推流的定义，同时进入系统的流体粒子也 同时离开系统，即平推流反应器不改变输入信号的 形状，只将其信号平移一个位置。
0
Z/2
Z
1、平推流模型 基本假设：物料质点沿同一方向以同一流速流动。 基本特征：参数在同一径向上相同，所有物料质点在 反应器中的停留时间都相同，反应器内无返混。
• 2、全混流模型
FCAA00 Q0QT00
• 基本假设：加入反应器的物
T0
料能在瞬间与存留物料混合。
• 基本特征：反应器内各处参 TC,out
1、脉冲示踪法
实验方法：用极短的时间，在定常态操作的系统入 加入一定量的示踪剂，同时在系统的出口处检测示 踪剂浓度的变化。 测量方法：热导法，电导法，放射性同位素示踪。
示踪剂脉冲注入
主流体 Q0
C0(t)
δ(t)
系统 Vr
示踪剂检测 Q
C(t)
面积=C0
t=0 t
0
t
脉冲法测定停留时间分布
Q•E(t)•dt = V•c(t)•dt
阶跃法的特点 由实验数据直接求得F(t) 示踪过程易于实现 示踪剂量大 由F(t)求E(t)涉及求导的数值计算
4.1.3 停留时间分布函数的数字特征
为了对不同的停留时间函数进行定量比较，通 常是比较其特征值。常用的特征值有数学期望和 方差。
1.数学期望（平均停留时间）
t
tE(t)dt
0
E(t)dt
0 E()d 1
无因次化方差
2 0 ( 1 )2 E ()d 0 (t 1 )2 E (t)d t
12 0(tt)2E(t)dt2t2
2
2 t
t2
可推知：平推流
2
0
全混流
2
1
例： 由脉冲法测定某反应器的响应曲线结果如下：
t(min) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
Ft dFt
0 1Ft
1t
0
dt
ln1Ft1t
ln1[F(t)]t
对恒容：
t
t
t
t
Ft1e 1e F
Et
dFt
1
t
e
1 e
dt
t
Ee
t • 将 代为 则有：
1
E
(t)
t
t 1
e
t0 tt
0
t
0 t0 F(t) 1e1 t t
1 t
无因次化 F () 1 e x p [ ] E () e x p [ ]
(8)
C0 2t1 t2t3
t3
……
第N釜流出的物料中示踪剂浓度为：
2. 全混流模型
考察有效体积为Vr、进料体积流量为Q的全混流 反应器，若在某一瞬间t=0，将流体切换成流量相同 的含有示踪剂的流体，同时检测流出物料中示踪剂 浓度变化。
含示踪剂流体C0 Q 流体
Q
检测C
全混流的停留时间分布
单位时间内流入、流出反应器的示踪剂量分别
为QC0、 QC 单位时间内反应器内示踪剂的累积量 为 d V r ，C 因此有：
Vr
数均相同，且等于出口物料
G
参数，各物料颗粒在反应器
CA T
FA Q T G TC,in
内具有一定的停留时间分布， 返混最大。
全混流反应器
实际的工业装置
在实际的工业装置中由于物料在反应器内的流动 速率不均匀、或因内部构件的影响造成物料出现与 主体流动方向相反的逆向流动、死角等都会导致偏 离理想流动。
E(t)
F(t)
1
1.0
0
t
t
0
tt
单位时间内反应器内示踪剂做物料衡算得：
输入 v0cA0
输出 v0cA
积累 dVR dctAVRddA ct
VRddcAtv0cA0v0cAv0cA0cA
dcA dt
Vv0RcA0cA
cA0
cA
即：
d
cA cA0
1
cA cA0
dt
Ft cA
cA0
积分：
ddF tt1Ft
解式(5)一阶线性微分方程得：
以及
C2
exp(t )[C0 t2 t1t2
tC]
t 0C 2 0 C 0
C2 t exp( t )
C0 t1 t2
t2
(6)
对第三全混流区(i=3) 应有： t0 C30
vC2 vC3
dV3C3 dt
(7)
解式(7)一阶线性微分方程并整理得：
C3 t2 exp( t )
• 模型法:通过对复杂的实际过程的分析，进 行合理的简化，然后用一定的数学方法予 以描述，使其符合实际过程的规律性，此 即所谓的数学模型，然后加以求解。
• 在建立流动模型时通常采用下述四个步骤： • 1、通过冷态模型实验测定装置的停留时间分布； • 2、根据所得的有关E(t)或F(t)的结果通过合理的简化
c A 0 25 22 27 26 22 19 15 10 7 4 3 3 1 0
计算 t5mi时n的 Ft,Et和 t
解：
7
cAdt cAdt 81.333300E t 源自 c AcA 81.3333
c A dt
0
Et 4 0.0492
t5 81.3333
t
Ft Etdt
0
F t
流动模型与滞留区、沟流和短路等作 不同的组合。 本节讲述三种非理想流动模型。
（一） 多级混合模型(N为模型参数)
多釜串联模型是用N个全混釜串联来模拟一个 实际的反应器。N为模型参数。
1.模型假定条件：① 每一级内为全混流； ② 级际间无返混； ③ 各釜体积相同
2.多釜串联模型的停留时间分布
设反应器总体积为Vr，并假想由N个体积相等的全混釜串联 组成，釜间无任何返混。若对系统施加脉冲示踪后，作示踪
对于所有偏离平推流和全混流的流动模式统 称为非理想流动。
本章将定量地对非理想流动进行讨论，并考察这 些非理想流动对反应器性能的影响。
4.1.1 非理想流动与停留时间分布
• 一、偏离理想流动的模型
• 1、对平推流的偏离：
•
不是均匀速度，发生涡流
•
存在径向流速分布
•
催化剂填充不均匀
• 2、对全混留的偏离：
dt
v(C 0 C )d (V d r tC )d [C d /tC 0]1(1 C C 0)
F (t)C d F (t)1 [1 F (t)]
C 0
d t
F (t) d F (t) 1td tln [1 F (t)] t
0 1 F (t) 0
F(t)1exp[t]
E (t) d F d t(t) d d t[1 e x p ( t)] 1 e x p ( t)
E(t) t t t
F(t)
1
t t0 tt
t
t t
E(t)tt0
tt tt
E()1 0
1 1
F(t) 10
tt t t
F()
0 1
1 1
统计特征值： 1 20
2 0
表明所有的流体粒子在反应器内的停留时间相同。 方差越小，说明分布越集中，分布曲线就越窄，停留 时间分布方差等于零这一特征说明系统内不存在返混。
tE(t)dt
0
0
ttdF (t)d t F(t)1td(tF )
0 dt
F(t)0
t
tE(t)t E(t)t
tE(t) E(t)
2.方差(对均值的二次矩)
t20 (t E t)(2 t)E d (tt)dt0 (tt)2E (t)dt0 t2E (t)dtt2 0
若
2 t
越小，则偏离程度越小，对于平推流
示踪剂 加入量
在t～t+dt 间自系统出口处 流出的示踪剂量
停留时间介于t～t+dt间的示踪剂的量
E t Vc t
Q
Q
Vct 0
dt
E
t
ct
0
c
t
dt
2 阶跃示踪法
含示踪剂流体Q
C(∞)
流体 Q 切换
C(∞)
系统 Vr
示踪剂检测
Q