两端积分, 得
du ln xlnC f (u)u
du
即
x Ce
f (u)u
再将 u 代y 入，便可得到齐次方程(10.2.4)的通解. x
若 f (u) u,有0根
, u则函数u0
, 即 u 也u0
是方程 (10.2.4) 的解.
例3 求微分方程 y2 x2 dy xy dy 的通解. dx dx
解 原方程可写成
dy
y2
( y )2 x
dx xy x 2
y 1
x
这是一个齐次方程. 令
, u则方程y可化为 x
yu x
0
u x du u2 dx u1
即 x du u dx u1
分离变量后得
(1 1 )du dx
u
x
上式两端积分得到
u ln u ln x lnC
从而
ln ux u ln C
ln y 及 ln x 写成 ln y及 ln x, 把任意常数 C 写成 lnC . 如
在上例中, 可以从
ln y ex lnC
中直接得到通解
y Ceex （C 为任意常数）.
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例 2 某公司对以往的资料分析后发现, 如果不做广告, 公
司某种商品的净利润为
0; 如果加以广告宣传, 则净利润
例如，对形如
d kdx a
ln(a ) kx ln C
于是方程的通解为
a Ce kx
将初始条件 x0 0 代如上式， 求得 C a 0 .
故所求的函数关系为
a (a 0 )ekx .
二. 齐次方程
如果一阶微分方程(10.2.1)中的函数
f ( x, y)可以写成关于
y 的函数, 即 x
将 u 代y 入上式，得通解 x
ln y y ln C x
y
即通解为
y Ce x （C 为任意常数）.
例4 已知生产某种产品的总成本为 C 由可变成本与固定 成本两部分构成. 假设可变成本 y 是产量 x 的函数，且 y 关于 x 的变化率等于产量平方与可变成本平方之和 除以产量与可变成本之积的2倍，固定成本为10. 当 x=1时， y=3，求总成本函数 C=C(x).
则称一阶微分方程
f
( x,
y)
y x
dy dx
y x
为齐次微分方程，简称齐次方程.
(10.2.4)
例如
( xy y2 )dx ( x 2 2 xy)dy 0
是齐次方程. 因为上式可化为
dy
xy y2
y ( y )2 xx
(
y)
dx x2 2xy 12( y ) x
x
在齐次方程(10.2.4)中, 只要引进新的未知函数
两边积分, 得
dy e xdx y
ln y ex C
1
（ C为1 任意常数）
从而 y eC1ee x, 也可写成 y Ceex ,其中 C eC1是
非零任意常数,
注意到 y = 0 也是方程的解. 若 C为任意常数,
则得到所给方程的通解为
y Ceex
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以后为了运算方便起见, 对于类似这样的问题, 通常把
教学目标
1. 掌握可分离变量微分方程的求解方法. 2. 掌握齐次方程的求解方法. 3. 掌握可化为齐次方程的求解方法. 4. 了解伯努利方程
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§10.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y)0
如果上式中的 可解y出，则方程可写成
y f ( x, y) 或
解 依题意，有微分方程
dy x 2 y 2
dx
2 xy
(x2 y2 )
将原方程改写
dy
x2
y2
1 ( y )2 x
dx
2 xy
2( y )
x
这是齐次方程，令
u y , 则上述方程可化为 x
u x du 1 u2 dx 2u
du 1 u2
即
x
dx 2u
分离变量后得
dx x
2udu 1 u2
而方
程(10.2.2)叫做已分离变量的微分方程 .
若 g(与y) h都(是x)连续函数，对(10.2.2)式两端积分，得
g( y)dy h( x)dx C
其中 C为任意常数.
G( y) 与 H ( x)分别是 g( y) 与 h( x)
的原函数.
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于是有
G( y) H ( x) C (10.2.3)
dy dx
f ( x, y)
（10.2.1）
有时也将一阶微分方程表示成微分的形式
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
本节我们将介绍几种常见类型的一阶微分方程及其解法.
一. 可分离变量的微分方程
如果一阶微分方程(10.2.1)可以化成
g( y)dy h( x)dx
(10.2.2)
的形式， 则称方程(10.2.1)为可分离变量的微分方程，
对广告费 x 的增长率与某个确定常数 a 和净利润之差成
比例(比例常数为 k ), 求净利润
与广告费 x 间 的函数关系.
解 设净利润 ( x), x为广告费用. d k(a )
dx
及初始条件 x0 0
依题意, 可得方程
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将方程分离变量， 上式两端积分，得
利用隐函数求导法则不难验证, 由(10.2.3)式所确定的隐函 数满足微分方程(10.2.2), 是它的通解. 我们把这种通解称为 方程(10.2.2)的隐式通解. 这种求解微分方程的方法称为分 离变量法.
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例1
求方程
dy dx
ex
y 的通解
.
解 当 y ≠ 0时，分离变量得
Hale Waihona Puke 上式两端积分得到ln x ln 1 u2 ln A
从而
x(1 u2 ) A
以 u y 代入上式，得通解 x y2 x 2 Ax
由初始条件
y
3, 代入上式，得
x 1
A 8
因此可变成本为 总成本函数为
y x2 8x
C 10 x2 8x
三. 可化为齐次的方程
利用变量代换还可以把一些非齐次微分方程转化为齐次方 程或可分离变量方程，从而达到求解的目的.
u y , 即 y ux x
(10.2.5)
齐次方程(10.2.4)就可以化为可分离变量方程.
式(10.2.5)两端对 x 求导，得
dy x du u dx dx
将上式代入方程(10.2.4)，有
即
x du (u) u
dx
x
du dx
u
(u)
若 u- f(u)≠0, 则分离变量, 得
du 1 dx f (u)u x