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2018年山西省中考数学真题含答案解析

山西省2018年高中阶段教育学校招生统一考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题:(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下面有理数比较大小,正确的是( )A .02<B .53-<C .23--<D .14-<2.“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作,它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书,这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列列四部著作中,不属于我国古代数学著作的是 ( )A .《九章算术》B .《几何原本》C .《海岛算经》D .《周髀算经》3.下列运算正确的是 ( ) A .326()a a -=- B .222236a a a +=C .2362 =2aa aD .2633()28b b a a-=-4.下列一元二次方程中,没有实数根的是( )A .22=0x x -B .2410x x +-=C .22430x x -+=D .2352x x =-5.近年来快递业发展迅速,下表是2018年1—3月份山西省部分地市邮太原市 大同市 长治市 晋中市 运城市 临汾市 吕梁市 3 303.78 332.68 302.34 319.79 725.86 416.01 338.871—3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是 ( ) A .31979.万件 B .33268.万件 C .33887.万件 D .41601.万件 6.黄河是中华民族的象征,被誉为母亲河,黄河壶口瀑布位于山西省吉县城西45千米处,是黄河上最具气势的自然景观.其落差约30米,年平均流量1 010立方米/秒.若以小时作时间单位,则其年平均流量可用科学记数法表示为( )A .46.0610⨯立方米/时B .63.13610⨯立方米/时C .63.63610⨯立方米/时D .536.3610⨯立方米/时 7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球,两次都摸到黄球的概率是( ) A .49B .13C .29D .198.如图,在Rt ABC △中,°90ACB ∠=,°60A ∠=,6AC =,将ABC △绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ''△,此时点A '恰好在AB 边上,则点B '与点B 之间的距离为( ) A .12B .6C .62D .639.用配方法将二次函数289y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为 ( ) A .2(4)7y x =-+ B .2(4)25y x =-- C .2(+4)7y x =+D .2(+4)25y x =-10.如图,正方形ABCD 内接于O ,O 的半径为2,以点A 为圆心,以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ,交AD 的延长线于点F ,则图中阴影部分的面积是 ( )A .4π4-B .4π8-C .8π4-D .8π8-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:(本大题共5小题,每小题3分,共15分.请把答案填写在题中的横线上) 11.计算:(321)(321)+-=.12.图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则12345=∠+∠+∠+∠+∠度.图1图213.2018年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115 cm .某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的宽为20 cm ,长与高的比为8:11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm .14.如图,直线MN PQ ∥,直线AB 分别与MN ,PQ 相交于点A ,B .小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A 为圆心,以任意长为半径作弧交AN 于点C ,交AB 于点D ; ②分别别以C ,D 为圆心,以大于12CD 长为半径作弧,两弧在NAB ∠内交于点E ; ③作射线AE 交PQ 于点F .若=2AB ,°=60ABP ∠,则线段AF 的长为 .15.如图,在Rt ABC △中,°=90ACB ∠,=6AC ,=8BC ,点D 是AB 的中点,以CD为直径作O ,O 分别与AC ,BC 交于点E ,F ,过点F 作O 的切线FG ,交AB 于点G ,则FG 的长为 . 三、解答题:(本大题共8个小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分10分,每题5分) 计算:(1)210(22)|4|362---+⨯+;(2)22211 1442x x x x x x -----+-.17.(本小题满分8分)如图,一次函数111(0)y k x b k =+≠的图象分别与x 轴,y 轴相交于点A ,B ,与反比例函数222(0)k y k x=≠的图象相交于点(4,2)C --,(2,4)D .(1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)当x 为何值时,10y >;(2)当x 为何值时,12y y <,请直接写出x 的取值范围.18.(本小题满分9分)在“优秀传统文化进校园”活动中,学校计划每周二下午三节课时间开展此项活动,拟开展活动项目为:剪纸,武术,书法,器乐,要求七年级人人参加,并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查,并对此进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图均不完整)请解答下列问题:(1)请补全条形统计图和扇形统计图(2)在参加“剪纸”活动项目的学生中,男生所占的百分比是多少? (3)若该校七年级学生共有500人,请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人?(4)学校教务处要从这些被调查的女生中,随机抽取一人了解具体况,那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少? 19.(本小题满分8分)祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索,造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表. 项目 内容 课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离 测量示意图说明:两侧最长斜拉索AC ,BC 相交于点C ,分别与桥面交于A ,B 两点,且点A ,B ,C 在同一竖直平面内测量数据 A ∠的度数B ∠的度数 AB 的长度 °38 °28 234米 … …(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索顶端点C 到AB 的距离(参考数据°sin380.6≈,°cos380.8≈,°tan380.8≈,°sin280.5≈,°cos280.9≈,°tan280.5≈);(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可).20.(本小题满分7分)2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列列车时速更快,安全性更好.已知“太原南一北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和诸号”列车行驶时间的45(两列车兴号中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.21.(本小题满分8分)请阅读下列材料,并完成相应的任务:在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办法.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子:试问如何在一个三角形ABC 的AC 和BC 两边上分别取学的点X 和Y ,使得==AX BY XY .(如图)解决这个问题的操作步骤如下:第一步,在CA 上作出一点D ,使得CD CB =,连接BD . 第二步,在CB 上取一点Y ',作Y Z CA ''∥,交BD 于点Z ',并在AB 上取一点A ',使Z A Y Z ''''=.第三步,过点A 作AZ A Z ''∥,交BD 于点Z .第四步,过点Z 作ZY AC ∥,交BC 于点Y ,再过点Y 作YX ZA ∥,交AC 于点X 则有AX BY XY ==. 下面是该结论的部分证明 证明:∵AZ A Z ''∥,∴BA Z BAZ ''∠=∠ 又∵A BZ ABZ ''∠=∠.∴BA Z BAZ ''△∽△∴Z A BZ ZA BZ'''=, 同理可得:Y Z BZ YZ BZ'''=,∴Z A Y Z ZA YZ ''''= ∵Z A Y Z ''''=,∴ZA YZ =.…任务:(1)请根据上面的操作步骤及部分证明过程,判断四边形AXYZ 的形状,并加以证明.(2)请再仔细阅读上面的操作步骤,在(1)的基础上完成==AX BY XY 的证明过程(3)上述解决问题的过程中,通过作平行线把四边形BA Z Y '''放大得到四边形BAZY ,从而确定了点Z ,Y 的位置,这里运用了下面一种图形的变化是 . A .平移旋转C .轴对称D .位似22.(本小题满分12分) 综合与实践问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD 中,=2AD AB ,E 是AB 延长线上一点,且=BE AB ,连接DE ,交BC 于点M ,以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFC ,连接AM .试判断线段AM 与DE 的位置关系. 探究展示:勤奋小组发现,AM 垂直平分DE ,并展示了如下的证明方法: 证明:∵=BE AB ,∴=2AE AB ∵=2AD AB ,∴=AD AE ∵四边形ABCD 是矩形,∴AD BC ∥∴EM EBDM AB=.(依据1)∵=BE AB ,∴1EMDM=,∴EM DM =. 即AM 是ADE △的DE 边上的中线,又∵=AD AE ,∴AM DE ⊥.(依据2) ∴.AM 垂直平分DE 反思交流(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么? ②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上,请直接回答,不必证明:(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE ,以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ,发现点G 在线段BC 的垂直平分线上,请你给出证明; 探索发现:(3)如图3,连接CE ,以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ,可以发现点C ,点B 都在线段AE 的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明;图1图2图323.(本小题满分13分) 综合与探究如图,抛物线211433y x x =--与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连接AC ,BC .点P 是第四象限内抛物线上的一个动点,点P 的横坐标为m ,过点P 作PM x ⊥轴,垂足为点M ,PM 交BC 于点Q ,过点P 作PE AC ∥交x 轴于点E ,交BC 于点F . (1)求A ,B ,C 三点的坐标;(2)试探究在点P 运动动的过程中,是否存在这样的点Q ,使得以A ,C ,Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)请用含m 的代数式表示线段QF 的长,并求出m 为何值时QF 有最大值.山西省2018年高中阶段教育学校招生统一考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】A 中,02>-,错;B 中,53-<,正确;C 中,23->-,错误;D 中,14>-,错误,故选B .【考点】有理数的大小比较. 2.【答案】B【解析】“算经十书”包括《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》在四个选项中《几何原经》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作,故选B .【考点】我国古代数学著作. 3.【答案】D【解析】A 中,322326()(1)()a a a -=-=,错误;B 中,222235a a a +=,错误;C 中,2352 =2a a a ,错误;D 中,2633()28b b a a-=-,正确,故选D .【考点】整式的运算. 4.【答案】C【解析】A 中,22 4(2) 40b ac ∆=-=-=>,此方程有两个不相等的实数根,不符合题意;B 中,224441(1)200b ac ∆=-=-⨯⨯-=>,此方程有两个不相等的实数根,不符合题意;C 中,22 4(4)42380b ac ∆=-=--⨯⨯=-<,此方程没有实数根,符合题意;D中,原方程变形为23520x x -+=,224(5)43210b ac ∆=-=--⨯⨯=>.此方程有两个不相等的实数根,不符合题意,故选C .【考点】一元二次方程根的判别式. 5.【答案】C【解析】把这7个数据按从小到大的顺序排列为302.34,319.79,332.68,338.87,416.01,725.86,303.78,位于最中间的数据为338.87故选C .【考点】中位数.6.【答案】C【解析】1 010立方米/秒 1 010 3 600=⨯立方米/时=3 636 000立方米/时63.636 10=⨯立方米/时,故选C . 【考点】科学记数法. 7.【答案】A【解析】画树状图如图所示,共有9种等可能的结果,其中两次摸出的小球都是黄球的结果有4种,所以P (两次都摸到黄球)4=9,故选A .【考点】列表法或画树状图法求概率. 8.【答案】D【解析】连接BB ',由旋转的性质知,=AC A C ',又°60A =∠,∴ACA '△是等边三角形∴°=60ACA '∠,由旋转可知°==60BCB ACA ''∠∠, BC B C '=,∴BCB '△为等边三角形,∴BB BC '=.在Rt ABC △中, tan606BC AC ︒==∴点B '与点B 之的距离是D .【考点】旋转的性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数. 9.【答案】B【解析】22289816169(4)25y x x x x x =--=-+--=--,故选B . 【考点】二次函数表达式的一般式与顶点式的转换. 10.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 为正方形,∴AB BC CD AD ===,4AC BD ==,∴ AB AD BC CD S S S S ===弓形弓形弓形弓形.如图所示,290π4142443602ABDAEF S S S π⨯=-=-⨯⨯=-△阴影扇形,故选A .【考点】正方形的性质、扇形的面积公式.第Ⅱ卷二.填空题 11.【答案】17【解析】原式22 11(81 17=-=-=. 【考点】平方差公式12.【答案】360【解析】由多边形的外角和为°360,知°12345=360∠+∠+∠+∠+∠. 【考点】多边形的外角和定理. 13.【答案】55【解析】设长为8 cm x ,高为11 cm x ,根据题意,得8+11+20115x x ≤,解得5x ≤,1155x ≤ ,即符合此规定的行李箱的高的最大值为55 cm【考点】一元一次不等式的应用. 14.【答案】【解析】如图,过点A 作AG PQ ⊥于点G ,由尺规作图可知,1=2∠∠,∵MN PQ ∥,∴1=3∠∠.∴2=3∠∠.∵°=60ABP ∠,∴°2=3=30∠∠.在Rt ABG △中° sin602AG AB ===在Rt AGF △中,∵°3=30∠,∴2AF AG ==【考点】解直角三角形、角平分线的作法、平行线的性质、三角形外角的性质. 15.【答案】125【解析】如图,连接EF ,DE ,DF .∵°=90ACB ∠,∴EF 为O 的直径,∴EF 必过圆心O ∵CD 为O 的直径,∴DE AC ⊥,DF BC ⊥,∵°=90ACB ∠, AD BD =,∴5CD AD BD ===,∴3AE CE ==,4CF BF ==,∴EF AB ∥,∴FGB OFG =∠∠,∵FG 为O 的切线,∴°=90OFG ∠,∴°=90FGB ∠,在Rt CDF △中,3DF ==,在Rt BDF △中,∵ DF BF BD FG =,∴3412 55DF BF FG BD ⨯===.三、解答题 16.【答案】(1)7(2)2x x - 【解析】(1)原式8421=-++ 7= (2)原式22(1)(1)11(2)2x x x x x x -+----=- +1122x x x =--- 2xx =-.【考点】实数的运算、分式的混合运算.17.【答案】解:(1)∵一次函数11y k x b =+的图象经过点(4,2)C --,(2,4)D , ∴1142,2 4.k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解,得:11,2.k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的表达式为12y x =+. ∵反比例函数22k y x=的图象经过点(2,4)D , ∴24=2k ,∴2=8k . ∴反比例函数的表达式为28y x=. (2)由10>y ,得20x >+. ∴2x >-.∴当2x >-时,10y >. (3)4x <-或02x <<.【解析】解:(1)∵一次函数11y k x b =+的图象经过点(4,2)C --,(2,4)D , ∴1142,2 4.k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解,得:11,2.k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的表达式为12y x =+. ∵反比例函数22k y x=的图象经过点(2,4)D , ∴24=2k ,∴2=8k . ∴反比例函数的表达式为28y x=. (2)由10>y ,得20x >+. ∴2x >-.∴当2x >-时,10y >. (3)4x <-或02x <<.【考点】待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、一次函数与反比例函数交点问题.18.【答案】解:(1)补全条形统计图和扇形统计图如图所示.(2)101004010+15⨯=%%. 答:男生所占的百分比为40%. (3)15002105⨯=%(人)答:估计其中参加“书法”项目活动的有105人. (4)1515515+10+8+154816==.答:正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为516. 【解析】解:(1)补全条形统计图和扇形统计图如图所示.(2)101004010+15⨯=%%. 答:男生所占的百分比为40%.(3)15002105⨯=%(人)答:估计其中参加“书法”项目活动的有105人. (4)1515515+10+8+154816==.答:正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为516. 【考点】条形统计图、扇形统计图、概率公式. 19.【答案】解:(1)过点C 作CD AB ⊥于点D .设CD x =米,在Rt ADC △中, 90ADC ︒=∠,=38A ︒∠.∵tan38CDAD︒=,∴5tan380.84CD x AD x ︒=≈=. 在Rt BDC △中,90BDC ︒=∠,8B ︒=∠2.∵tan28CDBD︒=,∴2tan280.5CD x BD x ︒=≈=.∵234AD BD AB +==,∴522344x x +=.解,得72x ≈.答:斜拉索顶端点C 到桥面的距离为72米.(2)还需要补充的项目可为:测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等.【解析】解:(1)过点C 作CD AB ⊥于点D .设CD x =米,在Rt ADC △中, 90ADC ︒=∠,=38A ︒∠.∵tan38CDAD︒=,∴5tan380.84CD x AD x ︒=≈=.在Rt BDC △中,90BDC ︒=∠,8B ︒=∠2.∵tan28CDBD︒=,∴2tan280.5CD x BD x ︒=≈=.∵234AD BD AB +==,∴522344x x +=.解,得72x ≈.答:斜拉索顶端点C 到桥面的距离为72米.(2)还需要补充的项目可为:测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等. 【考点】解直角三角形的应用.20.【答案】解法一:设乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要x 小时,由题意,得50050040151()646x x =+--. 解,得83x =经检验,83x =是原方程的根.答:乘坐“复兴号"G92次列车从太原南到北京西需要83小时.解法二:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x 小时, 由题意,得5005004054x x =+. 解,得52x =.经检验,52x =是原方程的根.518263+=(小时). 答:乘坐“复兴号”C92次列车从太原南到北京西需要83个小时.【解析】解法一:设乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要x 小时, 由题意,得50050040151()646x x =+--. 解,得83x =经检验,83x =是原方程的根.答:乘坐“复兴号"G92次列车从太原南到北京西需要83小时.解法二:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x 小时, 由题意,得5005004054x x =+. 解,得52x =.经检验,52x =是原方程的根.518263+=(小时). 答:乘坐“复兴号”C92次列车从太原南到北京西需要83个小时. 【考点】分式方程的应用.21.【答案】解:(1)四边形AXYZ 是菱形. 证明:∵ZY AC ∥,YX ZA ∥, ∴四边形AXYZ 是平行四边形.∵=ZA YZ ,∴AXYZ 是菱形.(2)证明:∵CD CB =,∴1=2∠∠.∵ZY AC ∥,∴1=3∠∠. ∴2=3∠∠.∴=YB YZ .∵四边形AXYZ 是菱形,∴==AX XY YZ . ∴==AX BY XY .(3)D (或位似)【解析】解:(1)四边形AXYZ 是菱形. 证明:∵ZY AC ∥,YX ZA ∥, ∴四边形AXYZ 是平行四边形. ∵=ZA YZ ,∴AXYZ 是菱形.(2)证明:∵CD CB =,∴1=2∠∠.∵ZY AC ∥,∴1=3∠∠. ∴2=3∠∠.∴=YB YZ .∵四边形AXYZ 是菱形,∴==AX XY YZ . ∴==AX BY XY . (3)D (或位似)【考点】菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、位似.22.【答案】(1)①依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例). 依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).②点A 在线段GF 的垂直平分线上. (2)证明:过点G 作GH BC ⊥于点H ,∵四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴°===90CBE ABC GHC ∠∠∠. ∴12=90︒∠+∠.∵四边形CEFG 为正方形, ∴CG CE =,=90CCE ︒∠ ∴13=90︒∠+∠∴2=3∠∠. ∴GHC CBE △≌△. ∴HC BE =.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD BC =. ∵2AD AB =, BE AB =,∴22BC BE HC ==. ∴HC BH =.∴GH 垂直平分BC . ∴点G 在BC 的垂直平分线上.(3)点F 在BC 边的垂直平分线上(或点F 在AD 边的垂直平分线上). 证法一:过点F 作FM BC ⊥于点M ,过点E 作EN FM ⊥于点N . ∴90BMN ENM ENF ︒===∠∠∠.∵四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴°90CBE ABC ==∠∠,∴四边形BENM 为矩形. ∴BM EN =,90BEN ︒=∠,∴1290︒=∠+∠. ∵四边形CEFG 为正方形, ∴EF EC =,°90CEF =∠, ∴°2390=∠+∠,∴13=∠∠.∵90CBE ENF ︒==∠∠,∴ENF EBC △≌△. ∴NE BE =.∴BM BE =.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD BC =.∵2AD AB =.AB BE =,∴2BC BM =,∴BM MC =. ∴FM 垂直平分BC ,∴点F 在BC 边的垂直平分线上.证法二:过F 作FN BE ⊥交BE 的延长线于点N ,连接FB ,FC.四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴90CBE ABC N ︒===∠∠∠.∴1390︒=∠+∠, ∵四边形CEFG 为正方形, ∴EC EF =,90CEF ︒=∠. ∴1290︒=∠+∠∴23=∠∠. ∴ENF CBE △≌△. ∴NF BE =,NE BC =.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD BC =. ∵2AD AB =,BE AB =.∴设BE a =,则2BC EN a ==,NF a =.∴BF =.CF =.CF ==.∴BF CF =,∴点F 在BC 边的垂直平分线上.【解析】(1)①依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例). 依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).②点A 在线段GF 的垂直平分线上. (2)证明:过点G 作GH BC ⊥于点H ,∵四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴°===90CBE ABC GHC ∠∠∠. ∴12=90︒∠+∠.∵四边形CEFG 为正方形, ∴CG CE =,=90CCE ︒∠ ∴13=90︒∠+∠∴2=3∠∠. ∴GHC CBE △≌△. ∴HC BE =.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD BC =. ∵2AD AB =, BE AB =,∴22BC BE HC ==. ∴HC BH =.∴GH 垂直平分BC.∴点G 在BC 的垂直平分线上.(3)点F 在BC 边的垂直平分线上(或点F 在AD 边的垂直平分线上). 证法一:过点F 作FM BC ⊥于点M ,过点E 作EN FM ⊥于点N . ∴90BMN ENM ENF ︒===∠∠∠.∵四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴°90CBE ABC ==∠∠,∴四边形BENM 为矩形. ∴BM EN =,90BEN ︒=∠,∴1290︒=∠+∠. ∵四边形CEFG 为正方形, ∴EF EC =,°90CEF =∠, ∴°2390=∠+∠,∴13=∠∠.∵90CBE ENF ︒==∠∠,∴ENF EBC △≌△. ∴NE BE =.∴BM BE =.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD BC =.∵2AD AB =.AB BE =,∴2BC BM =,∴BM MC =. ∴FM 垂直平分BC ,∴点F 在BC 边的垂直平分线上.证法二:过F 作FN BE ⊥交BE 的延长线于点N ,连接FB ,FC .四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴90CBE ABC N ︒===∠∠∠.∴1390︒=∠+∠, ∵四边形CEFG 为正方形, ∴EC EF =,90CEF ︒=∠. ∴1290︒=∠+∠∴23=∠∠. ∴ENF CBE △≌△. ∴NF BE =,NE BC =.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD BC =. ∵2AD AB =,BE AB =.∴设BE a =,则2BC EN a ==,NF a =.∴BF =.CF =.CF ==.∴BF CF =,∴点F 在BC 边的垂直平分线上.【考点】平行线分线段成比例、等腰三角形的性质矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、线段垂直平分线的判定定理. 23.【答案】(1)由0y =,得2114033x x --=. 解,得13x =-,24x =.∴点A ,B 的坐标分别为(3,0)A -,(4,0)B . 由0x =,得4y =-.∴点C 的坐标为(0,4)C .(2)14)Q -,2(1,3)Q -. (3)过点F 作FG PQ ⊥于点G ,则FG x ∥轴.由(4,0)B ,(0,4)C -.得OBC △为等腰直角三角形. ∴45OBC QFG ︒==∠∠.∴2GQ FG FQ ==. ∵PE AC ∥,∴12=∠∠.∴FG x ∥轴,∴23=∠∠,∴13=∠∠.∵90FGP AOC ︒==∠∠,∴FGP AOC △∽△.∴FG GPAO OC=,即4FG GP =. ∴442332GP FG FQ ===. ∴QP GQ GP =+=,∴FQ =, ∴PM x ⊥轴,点P 的横坐标为m ,45MBQ ︒=∠,∴4QM MB m ==-,211433PM m m =---.∴2211144(4)+3333QP PM QM m m m mm ==-++--=--.∴2214+)773377FQ m m m ==-=+.∵0<,∴QF有最大值,∴当27m ==时,QF 有最大值. 【解析】(1)由0y =,得2114033x x --=. 解,得13x =-,24x =.∴点A ,B 的坐标分别为(3,0)A -,(4,0)B .由0x =,得4y =-.∴点C 的坐标为(0,4)C .(2)1(4)22Q -,2(1,3)Q -. (3)过点F 作FG PQ ⊥于点G , 则FG x ∥轴.由(4,0)B ,(0,4)C -.得OBC △为等腰直角三角形.∴45OBC QFG ︒==∠∠.∴2GQ FG FQ ==. ∵PE AC ∥,∴12=∠∠.∴FG x ∥轴,∴23=∠∠,∴13=∠∠.∵90FGP AOC ︒==∠∠,∴FGP AOC △∽△. ∴FG GP AO OC=,即4FG GP =.∴442 332GP FG FQ ===.∴236QP GQ GP FQ =+=+=,∴7FQ =, ∴PM x ⊥轴,点P 的横坐标为m ,45MBQ ︒=∠,∴4QM MB m ==-,211433PM m m =---. ∴2211144(4)+3333QP PM QM m m m m m==-++--=--.∴2214+)773377FQ m m ==-=+.∵0<,∴QF有最大值,∴当27m==时,QF有最大值.解法二:提示,先分别求出BQ和BF关于m的代数式,再由QF BF BQ=-得到QF 关于m的代数式【考点】抛物线的性质、等腰三角形的性质、二次函数与一元二次方程的关系、勾股定理、相似三角形的判定与性质.。

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