《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。

解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5．叙述误差的种类及来源。

答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。

（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。

（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。

答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。

若存在一个正数ε使ε≤-=x x e *，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。

把绝对误差e 与精确值*x 之比***x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称*x εη=为近似值x 的相对误差限η≤r e ，由于真值*x 是未知的，所以常常用xe x x x e r =-=*来表示相对误差，于是相对误差可以从绝对误差求出。

7．近似值的规格化表示形式如何？答：一般地，对于一个精确值*x ，其近似值x 的规格化形式为m p x x x x 10.021⨯±=Λ，其中{}),2,1(9,2,1,0,01p i x x i ΛΛ=∈≠，p 为正整数，m 为整数。

8．有效数字的概念是什么？掌握有效数字与误差的关系。

答：若近似值x 的（绝对）误差限是它的某一位的半个单位，也就是说该近似值准确到这一位，且从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。

若近似值x 的（绝对）误差限为n m x x e -⨯≤-=1021*，则称x 为具有n 位有效数字的有效数，或称它精确到nm -10位，其中的每一位数字n x x x Λ,,21都是x 的有效数字。

设精确值*x 的近似值x 的规格化形式为mp x x x x 10.021⨯±=Λ，若x 具有n 位有效数字，则其相对误差限为n r x e -⨯≤111021；反之，若x 的相对误差限为n r x e -⨯+≤1110)1(21，则x 至少有n 位有效数字。

9．下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。

（1）024.01=x （2）4135.02=x （3）50.573=x （4）600004=x （5）55108⨯=x ；解：（1）0005.01*1≤-=x x e ；0021.0*≤=-=xex x x e r ；有三位有效数字。

（2）00005.02*2≤-=x x e ；000121.0*≤=-=xex x x e r ；有四位有效数字。

（3）005.03*3≤-=x x e ；000087.0*≤=-=xex x x e r ；有四位有效数字。

（4）5.04*4≤-=x x e ；0000084.0*≤=-=xex x x e r ；有五位有效数字。

（5）5.05*5≤-=x x e ；000000625.0*≤=-=xex x x e r ；有六位有效数字。

10．为了使19的相对误差≤0.1%，问至少应取几位有效数字？解：由19的首位数是 4.设近似数*x 有n 位有效数字，由定理4.1可知，相对误差001.010421)(1*≤⨯⨯≤-n r x e ，解得097.3≥n ，即取4位有效数字，近似数的相对误差不超过0.1%。

11．已知33,3100,1150)(*2==-+==x x x x x P y ，计算)3100(*p y =及)33(P y =，并求x 和y 的相对误差。

解：Λ55555.51150)3100()3100()3100(2*-≈-+==p y 281150)33()33()33(2-=-+==P y Λ333.0)(*≈-=x x x e Λ0101.0)()(≈=xx e x e r Λ44444.22)(*≈-=y y y e Λ801587.0)()(≈=yy e y e r 12．写出误差估计的一般公式（以二元函数),(y x f z =为例）。

解：二元函数),(y x f z =的绝对误差：)(|)(|)(),(),(y e yfx e x f z e y x y x ⋅∂∂+⋅∂∂≈二元函数的相对误差： z y e y f z x e x f z z e z e y x y x r )(|)(|)()(),(),(⋅∂∂+⋅∂∂≈=)(|)(|),(),(y e yfz y x e x f z x r y x r y x ⋅∂∂⋅+⋅∂∂⋅=13．用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为V V 2220±=，A I 1.010±=，求这个电阻的阻值R ，并估算其绝对误差和相对误差。

解：2)(≤V e ，1.0)(≤I e ，又2,1,IV I R I V R I V R -=∂∂=∂∂=。

所以： 42.01.01002202101)(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=⨯+⨯=⋅∂∂+⋅∂∂≤⋅∂∂+⋅∂∂≈I e I R V e V R I e IRV e V R R e I V I V I V I V21099.1)()(-⨯≈=RR e R e r 。

14．若01.045.0,01.003.1*2*1±=±=x x ，计算22121x e x y +=的近似值，并估计)(y e 及其上界。

解：45.0221)03.1(e y +≈ )(21))(()21()21()(2*22*21*11*11*1*x x x x e e x x x x e x e x y y y e -++-=+-+=-= ),(,01.0211006.2)(21))((*2221*11*12*2x x e e e x x x x x x ∈⨯⨯+⨯=-++-≤-ξξ15．已测得某场地长为m l 110=，宽d 的值为m d 80=，已知m l l l e 2.0)(*≤-=，m d d d e 1.0)(*≤-=，试求面积ld s =的绝对误差限和相对误差限。

解：由ld s =,l ds d l s =∂∂=∂∂,，m l l l e 2.0)(*≤-=，m d d d e 1.0)(*≤-=。

可得：301.0802.0110)(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=⨯+⨯=⋅∂∂+⋅∂∂≤⋅∂∂+⋅∂∂≈d e ds l e l s d e d s l e l s s e d l d l d l d l 3104.3)()(-⨯≈=ss e s e r 。

16．掌握二元函数的加、减、乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式。

解：（1）加、减运算： 由于()1/=∂+∂x y x ()()(),1/,1/,1/-=∂-∂=∂-∂=∂+∂y y x x y x y y x ，所以()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()|||/|||/|||,//,,//,y e y x y x e y x x y x e y e y x y x e y x x y x e y e x e y x e y e y x y x e y x x y x e y e x e y x e r r r r r r r r r ⋅-+⋅-≤-⨯--⨯-≈--≈-⨯++⨯+≈++≈+从而有（2）乘法运算： 由于()()，x yxy y x xy =∂∂=∂∂,所以()()()()()()y e x e xy e y xe x ye r r r +≈+≈,x y e ，从而()()()|||||||||y e x x e y xy e ⋅+⋅≤（3）除法运算： 由于2)(,1)(yx y y x y x yx-=∂∂=∂∂，所以)()(1)(2y e yxx e y y xe -≈，)()()(y e x e yxe r r r -≈（4）乘方及开方运算：由于()1-=∂∂n nnx xx ，所以()()()()x ne x e x e nx x e r n r n n ≈≈-,1 17．求方程01562=+-x x 的两个根，使它至少具有4位有效数字（982.27783≈）。

解：782.55982.272812114)56(5621=+≈⨯⨯⨯--+=x017863.0782.55112≈==x c x 19．求方程01162=+-x x 的较小正根，要求有3位有效数字。

解：937.15937.7812114)16(1621=+≈⨯⨯⨯--+=x062747.0937.15112≈==x c x 所以较小正根为062747.02≈x 。

20．设4110,,2,1,0,Λ==⎰n dx e xI x nn 。

（1）证明：4110,,2,1,0,Λ=-=-n nI e I n n ；（2）给出一个数值稳定的算法，并证明算法的稳定性。

（1）证明：11111---=-===⎰⎰⎰n x n xn xnn nI e x d e nx e e d x dx e xI（2）)(11n n I e nI -=-设n n n I I e -=*，则n nnn n n n n n n e n I I e e nI I e e n I I e 1110*0022*221*11=-==-==-=------ΛΛ 当n 无限大时，n e 越小，所以该算法稳定。