C
k n
pkqnk .
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3
1、定义 X ~ B(n, p)
若X的分布为P( X
k)
C
k n
pkqnk , k
0,1,, n
其中0 p 1, q 1 p,则称X ~ B(n, p)。
2、数字特征
EX
n
kC
k n
k 0
pkqnk
n
k
k0
n! k!(n k)!
pk q nk
n
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6
例4、 一批产品的废品率为0.03，进行20次重复抽样（有放 回）。求出现废品的频率为0.1的概率。
解：X表示20次中抽到废品的次数，服从二项分布，n=20, p=0.03。利用二项分布公式计算
P X 0.1 P( X 2) 0.0988. 20
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7
3、二项分布的最可能值
5
6
P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780
例3、10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机 器停车的概率为0.2。求同时停车数目X的分布。
解：X服从二项分布，n=10, p=0.2。利用二项分布公式计算
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.11 0.27 0.30 0.20 0.09 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
解：一等品数X服从二项分布，np+p=3.2+0.8=4，
所以k=3,4时P{X=k}最大。
X
0
1
2
3
4
P 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
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9
定理 : 若X ~ B(n, p)且Y n X ,则Y ~ B(n, q),其中q 1 p.
证明：对于m 0,1,, n, 有
解：p P( X 0.1)
0.1
0.1
f ( x)dx 2 xdx 0.01
0
因此Y ~ B(n,0.01)
例9、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取 整数，假定每个加数的取整误差服从[-0.5,0.5]上的均匀分 布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的 取整误差绝对值概率不超过0.3的概率。
P(Y m) P(n X m) P( X n m)
C
n n
m
pnmqm
则Y ~ B(n, q).
推论 : 若X ~ B(n, p),Y ~ B(n, q),则有 (1) P( X m) P(Y n m); (2) P( X m) P(Y n m).
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10
例6、某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计算命中率为 60％的概率。
np
k2
n(n 1) p2 np
DX EX 2 (EX )2 npq.
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5
例2、某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近6天 内用水量正常的天数的分布。
解：设最近六天内用水量保持正常的天数为X。它服从二 项分布，n=6, p=0.75。利用二项分布公式计算
X
0
1
2
3
4
定义 : 使概率P( X k)取最大值的k, 记作k0 , 称k0为二项分布 的最可能值.
设k k0时, P( X k0 )最大,则有下面不等式 :
P(X P(X
P(X
k0 ) k0 1) k0 )
1 1
P( X k0 1)
k0 np p k0 np p 1
2、数字特征
EX p, DX 可编p辑qp.pt
2
二、二项分布
例1、一批产品的合格率为0.9,重复抽取三次, 每次一件, 连续3次,求3次中取到的合格品件数 X的分布.
如果在一次试验中,事件A成功的概率为 p(0 p 1), 则在n重贝努里试验中事件 A成功的次数 X的分布为 :
P(X
k)
k2
n! k!(n
k )!
pk q nk
n
k(k 1) k
n!
pk q nk
k0
k!(n k)!
n
n (n 1) (n 2)!
p2 p q k 2 (n2)(k 2) EX
k2 (k 2)! (n 2) (k 2) !
n
n(n 1) p2
C p q k 2 k 2 nk n2
即k 0
np p或np [np p] ,
p 1,
当np p为整数 当np p不是整数
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8
np
p1
k0
np
p
p
p n
1 n
k0 n
p
p n
n , k0 p n
n很大时，频率为概率的可能最大
例5、某批产品有80％的一等品，对它们进行重复抽样检验， 共取出4个样品，求其中一等品数X的最可能值k，并用贝努 利公式验证。
n (n 1)!
p p q k 1 (n1)(k 1)
k1 (k 1)! (n 1) (k 1) !
np
n
C p q k 1 k 1 nk n1
mk 1
np
n1
Cmห้องสมุดไป่ตู้n1
pmq
n1m
k 1
m0
np(
p
q)n1
np； 可编辑ppt
4
EX
2
n
k
2C
k n
k 1
pk q nk
n k0
解 : 设X表示30次命中目标的次数 , 且X ~ B(30,0.8), 令Y 30 X , 则Y ~ B(30,0.2).
P X 0.6 P( X 18) P(Y 12) P(Y 12) P(Y 11) 30
0.9969 0.9905 0.0064
例7、已知X ~ B(n, p), EX 6, DX 42, 计算P( X 5).
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12
§4.2 超几何分布
第四章 几种重要的分布
§4.1 二项分布 §4.2 超几何分布 §4.3 泊松分布 §4.4 指数分布 §4.6 正态分布
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1
§4.1 二项分布
一、两点分布
1、定义
只取两个可能值的随机 变量所服从的分布。
X
x1
x2
Pp
q
其中p q 1.
若x1 1, x2 0, 称r.v. X服从参数为p的0 1分布。
解 : 首先计算n, p.
EX np 6 n 20 则X ~ B(20,0.3).查表得 :
DX
npq
42
p
, 0.3
P( X 5) 1 P( X 4) 0.7625.
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例8、设X
~
f
(
x)
2x,0 x 0, 其它
1 ,
现对X进行n次独立观测, 用Y表示
观测值不大于 0.1的次数 , 求Y的分布.