l3 其中 H 3EI
A,E,I
l
l 其中 v EA
[例3] 图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m ， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
l/2 l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
1 ，先求δ 解： m
l3 1 48 EI
l/
1
6 EI h2
V
1 m V
由截面平衡
6 EI h2
12 EI h3
k
12 EI h3
k
24EI h3
k 24EI m m h3
6 EI h2
6 EI h2
m h3 T 2 2 EI 1
● 熟记几种简单情况的刚、柔度
δ 1
悬臂梁自由端： l3 3EI
k
3EI l3
(－0.05%） (－0.7%）
(－4.8%）
9
例5、求图示结构的自振圆频率。 解法1：求 k k 1 m
θ=1/h
EI 3EI 3 l lh
A
h
MBA=kh = MBC
I→∞
θ
EI
B
C

l
3EI k 2 lh
1
k 3EI m m h2l
解法2：求 δ h
1 lh 2h lh 2 EI 2 3 3EI
kij
—— 第j 个结点位移发生单位位移(其它结点位移均锁固)时， 在第i 个结点位移处产生的反力。
由图示可知：
k11=k1+k2
k12=k21=－k2
k22=k2
3. 应用举例
P
求图示三层刚架的顶端侧移。
解： 1）计算各楼层（侧移）刚度

i3 i2 i1

i3 i2 i1
12i1 k1 2 2 h1
12i1 k1 2 h1
串联一般公式：
1 1 1 k k1 k2
n 1 1 kn j 1 k j
▲ 楼层刚度与位移法刚度系数的关系
EI∞
k21 k2
1
k22 k2
k12 k2
k2
EI∞
k11 k1 k2
1
k1
k1 、k2 —— 楼层刚度（本楼层单位侧移所需的侧向力） k11 、k12 、k21 、k22 —— 位移法的刚度系数 kij
1
两端刚结的杆的侧移刚度为： 一端铰结的杆的侧移刚度为：
12EI l3 3EI l3
楼面刚度 为无穷大 视同刚臂
2 P 2 P
1 k2
h1
k1
1 1 1 1 1 2 P P P k1 k2 k1 k2
k1
、k2 — 楼层刚度
12i2 k2 2 h2
总刚度：
k
P 1 1 1
k1 k2
五、例题
m
l /2 1 EI l /2
[例1] 计算图示结构的频率和周期。 （柔度法） 解：
1 m
l3 48 EI
ml 3 T 2 48EI

48 EI ml 3
1
[例2] 计算图示结构的水平和竖向振动频率。
m
H
1
解：
V
E,I E,A
1 H m H 1 V mV
9.86 EI , 2 l m
解得:1
(－0.7%） (－0.1%） (－3.1%）
l/3
ml 6 ml 3 ml 3
l/3
ml 6
解得 : 1
2
38.2 EI l2 m
l/3
ml 8
l/3
ml 4 ml 4
l/3
ml 8
ml 4
解得:1
l/3
l/3
l/3
l/3
9.865 EI , 2 m l 39.2 EI 2 2 m l 84.6 EI 3 2 m l
例1. 计算图示结构的频率和周期。
m
l /2 1
EI l /2
例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。 H 1 m 1VA,E,IE,I
E,A

l3 48EI m l3 T 2 3 48EI ml 48EI
例3.计算图示刚架的频率和周期。
m EI1= I I h
l
1 H m H
12i2 k2 2 2 h2
12i3 k3 2 2 h3
（柱并联）
2）计算楼顶点（侧移）柔度

1 1 1 1 k k1 k2 k3
3）计算顶端侧移
1 1 1 P P k1 k2 k3
2 2 h3 P h12 h2 24 i1 i2 i3
i
1 k
两端固支梁侧移刚度： 12 EI 12i k 3 2 l l
i
1
一固一铰支梁的侧移刚度:（同悬臂梁） 1 3EI 3i k 3 2 l l k 简支梁中点柔度、刚度：
l3 48EI 48EI k 3 l
δ
2. 柱的并联、串联刚度 （1）并联 总侧移刚度：
h EI EI
3EI 3EI 6EI k k左柱 k右柱 3 3 3 h h h

1 m 11

3EI mlh2
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m l/2 解：1）求δ l/2
3 l/ 16
m l/2 l/2 l/2
m l/2
P=1
l3 1 48EI
l/ 2
7l 3 5l/32 2 768EI P=1
l3 3 192EI
1
1 m 1

48EI ml3
3 1l 768 EIl 5l 1 192EI 1 l 3 l 7 l 2 2 (2 3 3 ) 1 3 ml 2 32 768 m ml EI 62 2 7 16 EI m 3
据此可得：ω1‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
2
3l /32 7l5 2 P=1 768 EI
l3 3 192 EI
48 EI 1 ml 3
3 l 768 EI 192 EI 1 l 3 l l 5 l 7 l 2 2 2 (2 3 ) 3 7 EI 6 2ml 16 2 32 768EI ml 3
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
例6、求图示结构的自振频率。 k11 k11
解：求 k
3EI
k
3 EI
m k
3EI k11 k 3 l
l3
EI
l
k11 m
l3
k m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。 •如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。
据此可得：ω1 ‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
结构约束越强,则刚度越大, 其自振动频率也越大。
m
l
ml 4 ml 2 ml 4
精确解: 1
9.87 EI , 2 l m
2
39.84 EI 88.83 EI , 3 l2 m l2 m
9.80 EI , 2 m l
总侧移刚度：
h1
i1
i2
h2
k k左柱 k右柱
3 i1 3 i2 2 2 h1 h2
∞ h
总侧移刚度：
i1
i2
12 i1 12 i2 k k左柱 k右柱 2 2 h h
并联一般公式：
k kj
j 1
n
（2）串联
Δ P h2 k2 Δ1 Δ2
1 1 P 1 P k1