曲线运动“轨迹”问题的破解山东平原一中 魏德田 253100近几年，涉及曲线运动“轨迹”一类问题，不断的出现在高中物理的阶段测试、历届高考中。

及时、有效的破解此类问题，实乃备战08年高考的当务之急。

本文拟就此做一探究。

一、破解的依据破解此类问题，应用以下几条“依据”：㈠判断物体的运动曲线轨迹的产生，根据“合速度与合外力（或合加速度）不共线”，即物体做曲线运动的条件。

㈡判断运动快慢程度改变的方式，若合速度与合外力（或合加速度）成“锐角”，为“加速”曲线运动，力对物体做正功；“恒成直角”，为“匀速率”圆周运动，力对物体不做功；成“钝角”，则为“减速”曲线运动，力对物体做负功。

反映物体速度大小的变化，属于合外力的切向加速效果。

㈢判断曲线的曲率改变，根据向“合外力（或合加速度）一侧”弯曲。

反映物体速度方向的变化，属于合外力的法向加速效果；㈣轨迹的性质（即抛物线、圆、双曲线等），可利用数学知识去证明等等。

至于物体速度的方向沿着某点切线的方向；物体的合速度指实际速度，求合速度、合加速度、合外力，常用运动（矢量）合成的知识；求物体能量的变化，应用“动能定理”、“功能关系或能量守恒”；求物体动量的变化，应用动量定理、动量守恒等等。

在原则上与解答诸类其他问题毫无二致。

二、解题示例[例题1]（’03上海）如图—3所示，质量为m 的飞机以水平速度v 0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含升力）。

今测得当飞机在水平方向的位移为l 时，它的上升高度为h 。

求：⑴飞机受到的升力大小；⑵从起飞到上升至h 高度的过程中升力所做的功及在高度h 处飞机的动能。

[解析]⑴已知飞机受重力mg 和竖直向上的升力N 等恒力作用，合外力F 合必为恒力。

由牛二定律，可得①ma mg N -----=-由“依据“㈢知，合外力方向是竖直向上的。

已知飞机在水平速度保持不变，再结合“依据”㈡,可知飞机做“类平抛”运动。

由平抛运动规律，可得③t v l ②at h ---------=--------=0221 联立①②③式，即可求出222lmhv mg N +=. 图—1l⑵易知，升力所做的功为2222lv mh mgh Nh W N +== 由动能定理得2021mv E mgh W K N -=- 从而，可求出飞机在高度h 处的动能)41(212220lh mv E K +=.[点拨]根据题中②③式可得曲线方程h av l ⋅=222,再由数学知识（“依据”㈣）可知，飞机的运动轨迹为抛物线。

[例题2]（’06重庆）如图—2所示，带正电的点电荷固定于Q 点，电子在库仑力作用下，做以Q 点为焦点的椭圆运动。

M 、P 、N 为椭圆上的三点，P 点是轨道上离Q 最近的点。

电子在从M 经P 到达N 点的过程中 （ ）A ．速率先增大后减小 B.速率先减小后增大 C.电势能先减小后增大 D.电势能先增大后减小[解析]为简单起见,只分析电子在M 、N 两点的情况。

从图—3可见，在M 、N 两点速度与库仑力分别成锐角、钝角。

由依据㈡、㈢可知，电子从M 点到P 点做“加速”曲线运动，从P 点到N 点则做“减速”曲线运动，速率先增大后减小。

故选项A 对B 错。

由动能定理可知，在“加速”段电子的动能增加，电场力做正功；在“减速”段电子的动能减少，电场力做负功。

再根据电场力做功与电势能的关系可知，“加速”段系统的电势能减少，“减速”段系统的电势能增加，即电势能先减小后增大。

故选项C 对D 错。

综上所述，本题正确选项为A 、C 。

[点拨]类似地，在同步卫星的变轨发射问题中，卫星的线速度的变化，应根据向心力（合外力）与线速度的夹角来判断。

而比较地球提供的向心力2r Mm G F =供（万有引力）与卫星所需要的向心力rv m F 2=需的大小，则可确定卫星做离心、近心或者圆周运动。

[例题3]一列火车以大小为V 0的速度向东匀速行驶，在列车内水平而光滑的桌面上放一个小球。

在列车由O 点开始向北转弯、加速运动的过程中，小球的运动轨迹大致为图—4当中的那一个： （ ）P[解析]先来讨论列车的运动。

由题设，可知列车由O点开始向北转弯、加速运动，初速度为V0。

设列车的合加速度为a0，应为分别在x、y轴的加速度a t（加速）、a n（转弯）的矢量和。

由图—5甲可见，加速度a0与初速度V0并“不共线”、成锐角（θ0）、方向为“东偏北”。

由“依据”㈠、㈡、㈢，可以判断列车做东偏北、加速、曲线运动，运动轨迹大致如图—4A所示。

然后，设列车在加速转弯曲线上的任意点P1的瞬时速度为V P1，类似地,得到此时的合加速度a1与速度V P1“不共线”、成锐角（θ1）、方向也为东偏北，图—5乙所示。

由此可进一步证实上述结论的正确性。

接下来，分析同一时刻小球在对应于P1的P2点的情况。

由于桌面是光滑的，因而小球相对列车的加速度a2＝-a1，“西偏南”的方向。

再根据“运动的合成”及平行四边形定则，求出小球对列车的相对速度V/，如图—5丙所示。

显然，小球的加速度a 2，，与相对速度V/并“不共线”、成锐角（θ 2 ）、方向为“西偏南”。

从而，由“依据”㈠、㈡、㈢，我们可断定小球做西偏南的、加速、曲线运动，其运动轨迹大致如图—4B所示。

因此，正确的答案为选：B。

[点拨]可以证明，在恒定合外力作用下物体做曲线运动的轨迹都为抛物线。

无论列车、还是小球的所受合外力的大小、方向都在不断变化，其运动轨迹都不是抛物线，且两者的形状、方向以及弯曲程度等也不一致。

请读者细心揣摩、体会。

[例题4]如图—6所示,在粒α子散射实验中,实线为某α粒子经过某一金原子核附近时的运动轨迹,图中PQ是轨迹上的两点,虚线是经过P、Q两点并与轨迹相切的直线,两虚线和轨迹将平面分为四个区域.不考虑其他原子核对α粒子的作用,关于原子核的位置（）A.一定在①区B.一定在②区C.可能在③区D.一定在④区[解析]首先，分析α粒子在P点的受力情况。

假如四个区域都有金原子核，由于金核和α粒子均带正电荷，因而α粒子可分别受到四个库仑斥力的作用，如图—7所示。

然后，当α粒子在P 点时，由“依据”㈢可知，斥力F 3、F 4不能使它产生向下弯曲的轨迹。

由“依据”㈡可知，α粒子能够在斥力F 1、F 2作用下由此开始沿图内“实线”做减速运动。

即金核有可能分布在①、②两个区域内。

当α粒子在Q 点时，由“依据”㈢可知，斥力F 2不可能使α粒子产生“实线”这样向下弯曲的的运动轨迹，而斥力F 3早已被排除在外。

旋而，又彻底推翻了前面在②区域内可能有金核的判断。

综上所述，正确的答案应选：A 。

′[点拨]解答此例的妙处，既应用破解“曲线轨迹”问题的规律，又选择了解选择题的“排除法”。

[例题6]如图—8所示，在匀强电场中将一带电量为+q 、质量为m 的小球以初速度--竖直向上抛出。

若匀强电场的场强为E=mg /q,试求：⑴描绘出小球的运动轨迹；⑵小球到达最高点时的速度、位移； ⑶当小球再回到与出发点同样高度的C 点时的速度。

[解析]此例即带电小球在复合场中做曲线运动的问题。

⑴首先，分析可知带电小球受水平向右的电场力、竖直向下的重力等恒力的作用。

如图—9所示，a 1、a 2和a 分别表示电场力、重力和合力产生的加速度；合加速度a ，与初速度V 0“不共线”、成θ的钝角、方向为“右斜下”；V 1、V 2为初速度V 0正交分解产生的。

由“依据”㈠、㈡、㈢并结合运动学知识，可知小球在该复合场内做“类斜抛运动”，图—9中的“曲线”表示小球运动的轨迹。

⑵显然，在小球自O 点运动到最高点B 的过程中，重力、电场力分别做负功、正功。

设小球在水平、竖直方向的位移分别为x =OA , y=AB 。

则根据动能定理，可得③qm g E ②m v qEx ①m v m gy B ------------=---------=-------=-22021210由以上三式，可以求出⑤gv y x ④v v B ---------==-----------=220 接下来，由“运动的合成”和⑤式，可得.1tan .222222====+=xyg v x y x s β其中，S 表示小球在最高点B 时对O 点的位移，β表示位移与水平方向的夹角。

显见，β等于45°。

⑶分析可知，当小球自最高点B 回到与O 点“等高”的C 点时，分别发生水平、竖直位移x ′、y 。

由于在水平方向小球只受恒定电场力作用，因而它做初速度为零的匀加速运动。

由合运动、分运动的等时性和等分时间的位移关系可得⑥x x --------='3:1:再设小球在C 点时的速度为V C ，在自O 经B 到C 的全过程中，只有电场力做功，根据动能定理可得2022121)(mv mv x x qE C -='+ 把上式与③、⑤、⑥联立，即可求出 05v v c =如图—11所示，设V C 与水平方向的夹角为φ，其方向表示为55sin 0==c v v φ. [点拨]解答此题的关键，在于能否弄清带电小球在做“类斜抛”运动，进而确认最高点、最远点的位置所在。

只要抓住关键环节，随之切入突破，其他问题则迎刃而解。

综上所述，只要我们在高中物理教学中，把握分析和解决此类问题的规律，并且在辛勤的解题实践活动当中不断的加深理解，即可变生疏为熟练，化迂拙为神奇，收到很好的教学效果。