第十一章 重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D Y =,∅=11D int D int I , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D Y =且11D int D int I ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。

.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D 2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯;(3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f .3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰D dxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰Ddxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域; (2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D 22dxdy y x sin,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤;(2)()⎰⎰+D dxdy y x ,其中D=(){}y x y xy ,x 22+≤+;(3)()⎰⎰+'D 22dxdy y xf ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D ⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4,v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体;(3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0; (2)⎰⎰+D y x y dxdy e ,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ， 其中等号仅在f 为常量函数时成立。

13.设f 为连续函数,且f(x,y)=f(y,x)证明:()⎰⎰100,x dy y x f dx =()⎰⎰--xdy y x f dx 0101,1. 14.求由下列曲线所围成的平面图形面积:(1) x+y=a; x+y=b; y=αx; y=βx, (a>b,α>β) (2)22222b y a x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x +15.设f(x,y)=sfn(x-y),试讨论函数F(y)=()⎰10dx y ,x f 在()∞∞-,上的连续性并作出F(y)的图像.()()()⎩⎨⎧∈∈b a, x,0b a, x ,x f 2 §3 三重积分1.计算下列积分(1)()⎰⎰⎰+v2dxdydz z xy ,其中v=[][][]1,03,35,2⨯-⨯-; (2)⎰⎰⎰v zdxdydz cos y cos x ,其中v=[]⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π⨯2,01,0 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0; (3)()⎰⎰⎰+++v 3z y x 1dx dydz ,其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域;(4)()⎰⎰⎰+v dxdydz z x cos y ,其中V 是由y=x ,y=0,z=0及x+z=2π所围成的区域. 2.试改变下列累次积分的顺序:(1)()⎰⎰⎰π-+1010y x 0dz z ,y ,x f dy dx ; (2)()⎰⎰⎰+1010y x 022dz z ,y ,x f dy dx . ()⎰⎰⎰+-+10x 1x 1x z 222dy z ,y ,x f dz dx3.计算三重积分:(1)⎰⎰⎰v dxdydz Z 2,其中V 由2222r z y x ≤++和+2x rz z y 222≤+所确定; (2)⎰⎰⎰---+10102222222x y x y x dz z dy dx .4.利用适当的坐标变换,计算下列各曲面所围成的体积:(1) Z=22y x +,z=2()22y x +,y=x,y=x 2; (2)2b y a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++2c z ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,(0x ≥,0y ≥,0z ≥,a>0,b>0,c>0) 5.设f （x ，y ，z ）在长方体V=[][][]f ,e d ,c b ,a ⨯⨯上可积,若对任何()D z ,y ∈=[][]f ,e d ,c ⨯定积分F(y,z)=()⎰ba dx z ,y ,x f存在,证明F(y,z)在D 上可积,且()⎰⎰D dydz z ,y F =()⎰⎰⎰vdxdydz z ,y ,x f .6.设V=()}⎩⎨⎧≤++1c z b y a x z ,y ,x 222222计算下列积分: (1)⎰⎰⎰---v 222222dxdydz cz b y a x 1; (2)⎰⎰⎰++v c z b y a x dx dydz e 222222..§4 重积分的应用1.求曲面az=xy 包含在圆柱222a y x =+内那部分的面积.2.求锥面Z=22y x +被柱面Z 2=2x 所截部分的曲面面积.3.求下列均匀密度的平面薄板重心: (1)半椭圆 12222≤+by a x ,0≥y ; (2)高为h,底分别为a 和b 的等腰梯形.4.求下列均匀密度物体重心:(1) 221Y X z --≤,0≥z ;(2) 由坐标面及平面x+2y-z=1所围四面体.5.求下列均匀密度的平面薄板转动惯量:(1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量;(2)边长为a 和b,且夹角为ϕ的平行四边形关于底边b 的转动惯量.6.设球体x 2z y x 222≤++上各点的密度等于该点到坐标原点的距离,求这个球体的质量.7.计算下列引力: (1)均匀薄片222R y x ≤+ z=0 对于轴上一点(0,0,c)(c>0)处的单位质量的引力; (2)均匀柱体222a y x ≤+,h z 0≤≤ 对于P(0,0,c)(c>h)处单位质量的引力.8.求曲面 ()()⎪⎩⎪⎨⎧φ=π≤φ≤ϕφ+=π≤ϕ≤ϕφ+=sin a z 20 cos acos b y 20 sin cos a b x的面积,其中a,b 常数,且b a 0≤≤.9.求螺旋面⎪⎩⎪⎨⎧θ=π≤θ≤θ=≤≤θ=b z 0rsin y a r 0 cos r x 的面积10.求边长为I 的正方形的薄板的质量,该薄板上每一点的密度与该点距正方形某顶点的距离成正比,且在正方形中点处密度为0ρ.11.求边长为a 密度均匀的正方体,关于其任一棱边的转动惯量.总 练 习 题1.设()y x f ,=⎩⎨⎧为有理数为无理数 x 2y, x,1()D y ,x ∈=[][]1,01,0⨯(1)证明f 在D 上不可积;(2)说明()⎰⎰1010dy y ,x f dx 存在,并求它的值; (3)说明f 在D 上先x 后y 的累次积分不存在.2.设平面上区域D 在x 轴和y 轴上的投影长度分别为L x ,L y , D 的面积为D ∆,(α,β)为D 内任一点.证明:(1)()()D L L dxdy y x y x D ∆≤β-α-⎰⎰(2)()()2y 2x D L L 41dxdy y x ≤β-α-⎰⎰. 3.试作适当变换,把下列重积分化为单重积分: (1)()⎰⎰≤++1y x 2222dx dy y xf ; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x f,其中D=(){x y y ,x ≤,}1x ≤;(3)()⎰⎰≤++1y x dxdy y x f ;(4)()⎰⎰Ddxdy xy f ,其中D=(){x 4y x y ,x ≤≤,}2x y 1≤≤.4.计算下列积分:(1)[]⎰⎰≤≤+2y ,x 0dxdy y x ;(2) ()⎰⎰≤++-4y x 2222dxdy 2y x sgn . 5.求下列函数在所指定区域D 内的平均值:(1) f(x,y)=y cos x sin 22,D=(){π≤≤x 0y ,x ,}π≤≤y 0; (2)()z ,y ,x f =222z y x ++, D=(){222z y x z ,y ,x ++}z y x ++≤. 6.设∆=0c b a c b a c b a 333222111≠求平面1111h z c y b x a ±=++2222h z c y b x a ±=++3333h z c y b x a ±=++所界平行六面体体积..7.研究函数()y F =()dx y x x yf 1022⎰+ 的连续性,其中f 为[0,1]上正连续函数.10.设f: R R 3→是连续可微函数,证明函数H(x)=()⎰⎰3322b a b a dy z ,y ,x f dz 是可微函数,且()x H '=()⎰⎰∂∂3322b a b a dy x z ,y ,x f dz11.设F(x,y)=()()⎰-xyy xdz z f yz x ,其中f 为可微函数,求()y ,x F xy .12.设f 为可微函数,求下列函数F 的导数:(1) F(t)=()⎰⎰⎰≤++++2222t z y x 222dxdydz z y x f ; (2) F(t)=()⎰⎰⎰vdxdydz xyz f ,其中 v=(){x 0z ,y ,x ≤,}t z ,y ≤.。