方程两侧对i求和，得
dp
dt
d dt
n i 1
mi vi
n i 1
F (e) i
n
F (i) i
0
—内力的性质1
i 1
dp
dt
d dt
n
mivi
i 1
n i 1
F (e) i
n
p mi vi —质点组的动量
i 1
dp n Fie dt
i1
质点组的动量对时间的微商，等于作用在质点组上
dt
d n
dt
Байду номын сангаас
i 1
mi viz
n
Fize
i 1
使用动量定理要注意以下几点：
1）首先必须要划清质点组所受的力哪些属于 内力，那些属于外力，因为只有外力才能直接改 变质点组的动量．
2)动量是矢量．质点组的动量，等于各质点动量的 矢量和，而不是代数和．质点组在t1——t2的这段时间 内动量的改变，应等于在这段时间的终、初时刻质点 组动量的矢量差，而不是代数差。
质点组的动量守恒律
动量定理：
dp dt
d dt
n
mi vi
i 1
n
F (e) i
i 1
n
Fie 0
i 1
n
p mivi mvC 恒矢量 i 1
质点组不受外力作用或所受外力的矢量和为零而 运动时，质点组的动量亦即质心的动量都是一个恒 矢量。
如果作用在质点组上的诸外力在某一轴 （设为x轴）上的投影之和为零
n
Fixe 0
i 1
n
px mivix mvC x 常数 i 1
在这一情形下，虽然质点组的动量并不是一个恒 矢量，但它在这一坐标轴上的投影却保持为常数。 或者说，质点组质心的速度，在这一坐标轴上的投 影为一常数.
注意
内力虽然可使质点组中个别质点的动量发生变化， 但却不能改变整个质点组的动量，也不能改变质点组 质心的速度。
内力 F (i) ：同一质点组中各质点之间的相互作用。
基本性质：
1）质点组中所有内力的矢量和恒为零。
nn
F i
fij 0
i1 j 1
ji
2）质点组中所有内力对任一定点（或定轴）
的力矩的矢量和恒为零。
注意
nn
M (i)
ri f ij 0
i 1 j1
i j
由于内力是作用在不同质点上，所以不能根据上
mi
i1
质量连续分布时：
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
对密度 为常数的物体来讲，质心和几何中
心重合。如重力加速度 g为恒矢量，则质心与重 心重合。
2.2 动量定理与动量守恒定律
质点组的动量定理
由n个质点所形成的质点组，每一质点的动力学方
程为
mi
d 2ri dt 2
Fie Fii
3) 质心运动定理与质点组动量定理，可以互相 推导得出．但在使用时，可根据不同的情况，采 用不同的公式．
4) “力的矢量和”与“合力”，是两个不同的概念， 绝不能混淆。一般的质点组，只能求力的矢量和，而 不能求合力。因为，求合力的一般方法是把力移到某 一点之后，运用平面四边形法则求解。但作用在一般 质点组上的力，如作用点发生移动，不仅影响质点相 对质心的转动状态的变化，还影响各质点间的相对位 置。所以，“力的矢量和”不能与“合力”等同。
诸外力之矢量和，或质点组动量的微分等于作用在质 点组上诸外力的元冲量的矢量和。
dp
dt
d dt
n
mi vi
i 1
n i 1
F (e) i
动量定理的分量形式
dpx
dt
d dt
n i 1
mi vix
n
Fixe
i 1
dpy
dt
d dt
n i 1
mi
viy
n
Fiye
i 1
dpz
述性质将内力误解为平衡力系（只有刚体才是这样） ，换言之，内力可使质点间发生相对位移，从而改变 质点组中个别质点的运动状态。
三、质心 ——质点组的质量中心
n
mi ri
rC
OC
i 1 n
mi
i 1
n
mi xi
xc
i1 n
mi
i1
n
mi yi
yc
i1 n
mi
i1
n
mi zi
zc
i1 n
例如，沿水平方向发射炮弹的大炮（设炮身轴线 平行x轴），在发射前沿x方向的总动量为零，当炮 弹发射后，炮身向后反冲，若不计水平方向上可能 有的外力（如地面摩擦力），那么将炮弹与炮身作 为质点组看待，因为沿x方向无外力作用，则沿x方 向总的动量仍然等于零，炮弹在这个方向上的运动 是由这个质点组的内力的作用引起的。
第二章 质点组力学
Chapter 2 质点组动力学
2.1 基本概念 2.2 动量定理与动量守恒定律 2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律 2.5 两体问题 2.6 质心坐标系与实验坐标系 2.7 变质量物体的运动
Chapter 2 质点组动力学
一、基本要求
1）掌握质点组力学处理问题的方法； 2）掌握质点组三大基本定理和守恒定律的内容、守
恒定律成立的条件及其应用； 3）掌握质心的概念和质心运动定理； 4）掌握柯尼希定理。
二、重点和难点
综合运用三大基本定理及其守恒定律。
2.1 基本概念
一、力学体系
彼此相互影响的若干质点的一个集合，称为力
学体系,简称质点组。
质点组
可变质点组 不变质点组（刚体）
二、内力和外力
外力 F (e) ：作用于组中某一质点的力，不来自 质点组中任何其他质点者。
3)使用动量定理时，要注意速度的时刻与所相对的 参照系．在所研究的时间间隔内，初(或终)时刻的速 度，就是指各质点在同一时刻相对于同一参照系的速 度．这一点尤其在处理相对运动的问题时需特别注意 ．这里所指的参照系，是惯性参照系，因为公式是由 只在惯性系中才成立的牛顿第二定律推导而来的．
质心运动定理
n
由质心的定义
mi ri mrC
i 1
n
mi vi mvC vC质点组质心的速度
i 1
由动量定理得
m
d 2rC dt 2
m dvc dt
n
F (e) i
i 1
质点组质心的运动，就好象一个质点的运动一样， 此质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点 上的力，等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和， 这就是质心运动定理。
m d 2rC dt 2
m dvc dt
n
F (e) i
i 1
对质心运动定理的理解应注意以下几点：
1）质点组的内力不能直接改变质心的动量．当 质点组所受外力的矢量和为零时，质心速度等于常 矢量．即质心静止、或作匀速直线运动．
2）由质心运动定理求积分所给出的质心运动，是 质点组总体随质心的平动，而每个质点相对质心的 运动，则不能由公式求出．