实用文档之"牛顿运动定律中的临界和极值问题"
1．动力学中的典型临界问题
(1)接触与脱离的临界条件
两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力F N＝0. (2)相对静止或相对滑动的临界条件
两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件
绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是F T＝0.
(4)速度最大的临界条件
在变加速运动中，当加速度减小为零时，速度达到最大值．
2．解决临界极值问题常用方法
(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．
(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．
(3)数学法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．
题型一：接触与脱离类的临界问题
例1: 如图所示，在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长，然后使托盘以加速度a竖直向下做匀速直线运动（a<g），试求托盘向下运动多长时间能与物体脱离？
例2: 如图，竖直固定的轻弹簧，其劲度系数为k=800N/m，上端与质量为3.0 kg 的物块B相连接。
另一个质量为1.0 kg的物块A放在B上。
先用竖直向下的力F=120N压A，使弹簧被压缩一定量后系统静止，突然撤去力F，A、B共同向上
运动一段距离后将分离，分离后A 上升最大高度为0.2 m ，取g ＝10 m/s 2
， 求刚撤去F 时弹簧的弹性势能？
例3:如图所示，质量均为m 的A 、B 两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止，用大小等于mg 21的恒力F 向上拉A ，当运动距离为h 时A 与B 分离。
则下列说法正确的是（ ）
A ．A 和
B 刚分离时，弹簧为原长
B ．弹簧的劲度系数等于h
mg 23 C ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中，两物体的动能先增大后减小
D ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中，A 物体的机械能一直增大
例4:如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k ，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A 连接；两物块A 、B 质量均为m ，初始时均静止。
现用平行于斜面向上的力F 拉动物块B ，使B 做加速度为a 的匀加速运动，A 、B 两物块在开始一段时间内的v-t 关系分别对应图乙中A 、B 图线（t 1时刻A 、B 的图线相切，t 2时刻对应A 图线的最高点），重力加速度为g ，则（ ）
A ．t 1和t 2时刻弹簧形变量分别为k
ma mg +θsin 和0 B ．A 、B 分离时t 1()ak
ma mg +=θsin 2 C ．拉力F 的最小值ma mg +θsin
D ．从开始到t 2时刻，拉力F 逐渐增大
题型二：相对静止或相对滑动的临界问题
例1：如图所示，质量分别为15kg和5kg的长方形物体A和B静止叠放在水平桌面上。
A与桌面以及A、B间动摩擦因数分别为μ1=0.1和μ2=0.6，设最大
静摩擦力等于滑动摩擦力。
问：
（1）水平作用力F作用在B上至少多大时，A、B之间能发生相对滑动？
（2）当F=30N或40N时，A、B加速度分别各为多少？
跟踪训练：（多选）如图甲所示，一质量为M的长木板静置于光滑水平面上，其上放置一质量为m小滑块．木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出长木板的加速度a与水平拉力F的关系如图
乙所示，取g=10m/s2，则（）
A．小滑块的质量m=2kg
B．当F=8N时，滑块的加速度为1m/s2
C．滑块与木板之间的动摩擦因数为0.1
D．力与加速度的函数关系一定可以表示为F=6a（N）
例2：如图所示，两个质量均为m的小木块A和B放在转盘上，且木块A、B 与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。
开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，
使角速度ω缓慢增大。
为使细绳有弹力，而木块A和B又能相对转盘保持静止，求角速度ω的取值范围和细绳张力的最大值。
例3：如图所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转，盘上水平杆上穿着两个质量均为m=2kg的小球A和B。
现将A和B分别置于距轴r A=0.5m和r B=1m处，并用不可伸长的轻绳相连。
已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f m=1N。
试分析转速ω从零缓慢逐渐增大（短时间内可近似认为是匀速转动），两球对轴保持相对静止过程中，在满足下列条件下，ω的大小。
（1）绳中刚要出现张力时的ω1；
（2）A、B中某个球所受的摩擦力刚要改变方向时的ω2，并指明是哪个球的摩擦力方向改变；
（3）两球对轴刚要滑动时的ω3。
跟踪训练：（多选）圆形转盘上的A、B、C三个物块如图放置，A、O、B、C 在一条直线上，A、B间用一轻质细线相连(开始细线刚好伸直)，三个物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，A、B、C三个物块的质量分别为m、m、2m，到转盘中心O的距离分别为3r、r、2r，现让转盘以角速度ω（可调）匀速转动，重
力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（）
A、当物块C相对转盘刚要滑动时，物块B所受摩擦力为μmg
B、当物块C相对转盘刚要滑动时，细线张力为0.5μmg
C、当细线内刚出现张力时，物块C所受摩擦力为μmg
D、当细线内刚出现张力时，A、B、C所受摩擦力大小之比为3:1:4
题型三：绳子断裂与松弛的临界问题
例5．如图所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40 cm，细线ac长50 cm，bc长30 cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动过程中，下列说法不正确的是( ) A．转速小时，ac受拉力，bc松弛
B．bc刚好拉直时，ac中拉力为1.25mg
C．bc拉直后转速增大，ac拉力不变
D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大
例6．如图所示，将两物块A、B用一轻质细绳（沿水平方向）连接放在粗糙的水平面上，已知两物块A、B的质量分别为m 1=8kg,m2=2kg,滑块与地
面间的动摩擦因数均为μ=0.2,g=10m/s2,细绳的最大拉力为T=8N.
今在滑块A上施加一水平向右的力F,设最大静摩擦力等于滑动摩擦
力。
为使两滑块共同向右运动,则拉力F多大?
题型四：速度最大的临界问题
例7．如图所示，在磁感应强度为B 的水平匀强磁场中，有一足够长的绝缘细棒OO ′在竖直面内垂直于磁场方向放置，细棒与水平面夹角为α.一质量为m 、带电荷量为＋q 的圆环A 套在OO ′棒上，圆环与棒间的动摩擦因数为μ，且μ＜tan α.现让圆环A 由静止开始下滑．试问圆环在下滑过程中：
(1)圆环A 的最大加速度为多大？获得最大加速度时的速度为多大？
(2)圆环A 能够达到的最大速度为多大？
跟踪练习：
1.如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m 。
现在给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s 内F 是
变力，在0.2s 以后F 是恒力，g=10m/s 2,则F 的最小值是 ，F 的最大
值是 。
思维拓展：若上题中秤盘质量m 1=1．5kg ，盘内物体P 质量为m 2=10．5kg ，弹簧的劲度系数 k=800N/m ，其他条件不变，则F 的最小值是 ，F 的最大值是 。
2. 如图所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细
线的另一端拴一质量为m 的小球。
当滑块至少以多大的加速度a 向左运动时，小球对滑块的压力等于零，当滑块以a=2g 的加速度向左运动时，球此时线中拉力T 大小？
3. 一个带负电荷q ，质量为m 的小球，从光滑绝缘的斜面轨道的A 点由静止下滑，小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动．现在竖a A P 450
直方向上加如图所示的匀强电场，若仍从A点由静止释放该小球，则( ) A．小球不能过B点 B．小球仍恰好能过B点C．小球能过B点，且在B点与轨道之间压力不为0 D．以上说法都不对
5.如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体，Ｂ的质量是Ａ的2倍，Ｂ受到向右的恒力ＦB=2N，Ａ受到的水平力ＦA=(9-2t)N，(t的单位是s)。
从t＝0开始计时，则：
A．Ａ物体在3s末时刻的加速度是初始时刻的5／11倍；
B．t＞４s后,Ｂ物体做匀加速直线运动；
C．t＝4.5s时,Ａ物体的速度为零；
D．t＞4.5s后,ＡＢ的加速度方向相反。
6.如图所示，在光滑水平面上有一辆小车A，其质量为m A＝2.0 kg，小车上放一个物体B，其质量为m B＝1.0 kg.如图甲所示，给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0 N时，A、B开始相对滑动．如果撤去F，对A施加一个水平推力F′，如图乙所示．要使A、B不相对滑动，求F′的最大值F m.。