华东师范大学2015年攻读硕士学位研究生入学试题
数学分析
2015年1月5
一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题6分，共36分）
(1)如果∀ε>0,∃N ∈N +,当n >N 时,有|a n −a N |<ε,则数列{a n }收敛.
(2)如果函数列{f n (x )}在[a,b ]上一致收敛于连续函数f (x ),则∀n ∈N +,均有{f n (x )}在[a,b ]上连续.
(3)如果函数f (x )在x 0点连续,且
lim n →∞
f (x 0+1n
)−f (x 0)1
n 存在,则f (x )在x 0点的右导数存在.
(4)如果函数f (x ),g (x )在[a,b ]上连续,则∃ξ∈[a,b ],使得
b a f (x )g (x )d x =f (ξ) b a g (x )d x.
(5)如果函数f (x,y )的偏导数在点P 0(x 0,y 0)的某邻域内存在且有界,则f (x,y )在点P 0(x 0,y 0)连续.(6)如果函数f (x )在[a,+∞)上的非负连续,且 +∞a f (x )d x 收敛,则lim x →+∞
f (x )=0.二、求解下列各题（每小题9分，共36分）
(1)
lim n →∞2n +1n !n n
.(2)计算积分
S (x 2+y −z 3)d s,
其中S 为[−1,1]×[−1,1]×[−1,1]的表面.
1。