4.6正弦定理和余弦定理考情分析本节是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主；难度不大；解答题主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题，难度中档.基础知识3.三角形的面积公式(1)1().2a a S a h h a =⋅表示边上的高 (2) 111sin sin sin .222S bc A ac B bc B ===(3) 1()()2S a b c r r =++⋅为三角形内切圆的半径4.应用举例利用正弦定理和余弦定理解三角形常用题型有:测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题,计算面积问题等.注意事项1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 题型一 利用正弦定理解三角形【例1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：∵B ＝π－(A ＋C )，∴cos B ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )，∴1＝cos(A －C )＋cos B ＝cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，∴sin A sin C ＝12.由正弦定理a sin A ＝csin C ＝2R ， 得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ， ∵a ＝2c ，∴sin A ＝2sin C ， ∴2sin 2C ＝12，即sin 2C ＝14，解得sin C ＝12或sin C ＝－12(舍去)， ∴C ＝π6.【变式1】在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝255， 再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， 代入数据解得a ＝210. 答案255 210题型二 利用余弦定理解三角形【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )A. 135 B. 125 C. 3 D. 134答案：A解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(c ＋b )(c －b )2ac ，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴3＋4(c －b )23c ＝32，即3＋4(c －b )＝3c,3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.∴选A.【变式2】已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解(1)由2cos2A2＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－1 2，∵0＜A＜π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC ＝12bc sin A＝ 3.题型三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．解由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，即b2sin A cos B＝a2cos A sin B，即sin2B sin A cos B＝sin2A cos B sin B，所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【变式3】在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C；则△ABC是()．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆半径)．∴sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C.即tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C. 答案 B题型四正、余弦定理的综合应用【例4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝π4，b sin(π4＋C)－c sin(π4＋B)＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)证明：由b sin(π4＋C)－c sin(π4＋B)＝a，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C)－sin C sin(π4＋B)＝sin A，sin B(22sin C＋22cos C)－sin C(22sin B＋22cos B)＝22，整理得sin B cos C－cos B sin C＝1，即sin(B－C)＝1，由于0<B<3π4，0<C<3π4，从而B－C＝π2.(2)B＋C＝π－A＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8，由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8， c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8【变式4】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210. 重难点突破【例5】在△ABC 中， a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高． 解析 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ， ∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC中，根据正弦定理asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝5 12π.∴sin C＝sin(B＋A)＝sin B cos A＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为b sin C＝2×6＋24＝3＋12.巩固提高1. 在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C，则A的取值范围是()A. (0，π6] B. [π6，π)C. (0，π3] D. [π3，π)答案：C解析：由正弦定理得，a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理得，cos A＝b2＋c2－a22bc≥bc2bc＝12.又∵0<A<π，∴0<A≤π3.故选C.2. 在△ABC中，∠A＝π3，BC＝3，AB＝6，则∠C＝()A. π4或3π4 B.3π4C. π4 D.π6答案：C解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，则sin C ＝AB sin ABC ＝6sin π33＝22，又BC >AB ，所以∠A >∠C ，所以∠C ＝π4，选C.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A. 12 B. 32 C. 1 D. 34答案：A解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.4.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A. 14 B. 24 C. －14 D. －24答案：C解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin2A ＝－12sin30°＝－14，选C.5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A. 725B. －725C. ±725 D. 24 25答案：A解析：∵sin C＝sin2B＝2sin B cos B，∴cos B＝sin C2sin B＝c2b＝4 5，∴cos C＝cos2B＝2cos2B－1＝725，选A项．6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝35，cos B＝513，b＝3，则c＝________.答案：14 5解析：因为cos A＝35，cos B＝513，所以sin A＝45，sin B＝1213，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝45×513＋35×1213＝5665，由正弦定理bsin B＝csin C，得c＝b sin Csin B＝3×56651213＝145.。