0.6
0.3
E ( X ) ＝ ＝ x ip i＝ 0 0 .1 1 0 .6 2 0 .3 ＝ 1 .2
i
D ( X ) ＝ ( x i － ) 2 p i ＝ ( 0 1 . 2 ) 2 0 . 1 ( 1 1 . 2 ) 2 0 . 6 ( 2 1 . 2 ) 2 0 . 3 ＝ 0 . 36
1. 二项分布（背景）
（背景）——n重贝努里试验：
一次试验只有两种可能结果 用“成功”代表所关心的结果，相 反的结果为“失败”
每次试验中“成功”的概率都是 p n 次试验相互独立。
1. 二项分布
在n重贝努里试验中，“成功”的次数X 服从参数为n、p的二项分布，记为 X ～
B(n , p)
x1 x2 … xn
P(X =xi)=pi p1 p2 … pn 分布图
P( x )
0.6
0.3
0
0
1
2
x
图3-5 例3-9的概率分布
2. 连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量的概率分布只能表示为：
数学函数——概率密度函数f (x)和分布函数F (x)
图 形——概率密度曲线和分布函数曲线
i
σ ＝0.6
3.两个随机变量的协方差和相关系数
协方差的定义
C ( X ,o Y ) v E {X [E ( X )Y ] E [ ( Y )]
E (X) Y E (X )E (Y )
• 如果X,Y独立（不相关），则
Cov(X,Y)＝0 即 E(XY)＝E(X) E(Y)
• 协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性 •协方差受两个变量本身量纲的影响。
二项分布的概率函数：
P (X x )C n xpx(1p )n x
二项分布的数学期望和方差：
E (X ) ＝ ＝ n , pD (X ) ＝ 2 ＝ n ( 1 p p )
n＝1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）
二项分布图形
p＝0.5时，二项分布是以均值为中心对称 p≠0.5时，二项分布总是非对称的
程度。
它们的值越大，说明离散程度越大，其概率 分布曲线越扁平。
方差的主要数学性质：
若k是一常数，则 D(k)＝0；D(kX)＝k2 D(X) 若两个随机变量X、Y相互独立，则
D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)
【例3-10】
试求优质品件数的数学期望、方差和标
准差。
解： xi pi
0
1
2
0.1
2. 随机变量的方差
方差是它的各个可能取值偏离其均值的
离差平方的均值，记为D(X)或σ2
公式：D (X)＝ 2＝ E (X)2
离散型随机变量的方差：
D (X)＝ 2＝ (xi－ )2pi
i
连续型随机变量的方差：
D (x)＝ 2＝ [x]2f(x)dx
方差和标准差（续）
标准差＝方差的平方根 方差和标准差都反映随机变量取值的分散
• 随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：
f(x)
b
P(aXb)af(x)dx
ab
x
3. 分布函数
适用于两类随机变量概率分布的描述
分布函数的定义： F(x)＝P{X≤x}
– 离散型随机变量的分布函数
F(x)＝
pi
xi x
–连续型随机变量的分布函数
f(x)
F ( x0 )
F(x)＝x f(x)dx
用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值 则用相应的小写字母如x、y、z…来表示
根据取值特点Biblioteka 不同，可分为：离散型随机变量——取值可以一一列举 连续型随机变量——取值不能一一列举
3.2 随机变量及其概率分布
二、随机变量的概率 分布
1. 离散型随机变量的概率分布 2. 连续型随机变量的概率密度
i
相当于所有可能取值以概率为权数的平均值
连续型随机变量X 的数学期望：
E(x)＝ x(fx)dx
数学期望的主要数学性质
若k是一常数，则
E (k X) ＝k E(X)
对于任意两个随机变量X、Y，有
E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)
若两个随机变量X、Y相互独立，则
E(XY)＝E(X) E(Y)
概率密度函数f (x)的函数值不是概率。
连续型随机变量取某个特定值的概率等于0 只能计算随机变量落在一定区间内的概率
——由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示
概率密度f (x) 的性质
（1） f (x)≥0。概率密度是非负函数。
（2） f (x)dx1 所有区域上取值的概率总和为1。
x0
x
分布函数与概率密度
3.2 随机变量及其概率分布
三、随机变量的数字 特征
1. 随机变量的数学期望 2. 随机变量的方差和标准差
3. 两个随机变量的协方差和相关系数
1. 随机变量的数学期望
又称均值 描述一个随机变量的概率分布的中心位置
离散型随机变量 X的数学期望：
E(X)＝ ＝ xipi
p<0.5时峰值在中心的左侧 p>0.5时峰值在中心的右侧
随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布
p=0.3
p=0.5
p=0.7
二项分布图示
【例3-11】
某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年中至 多只发生一次损失且损失的概率为0.1。试求 在一年内该单位：（1）没有汽车发生损失 的概率；（2）有1辆汽车发生损失的概率； （3）发生损失的汽车不超过2辆的概率。
3. 分布函数
1. 离散型随机变量的概率分布
X的概率分布——X的有限个可能取值为
xi与其概率 pi（i=1，2，3，…，n）之
间的对应关系。
概率分布具有如下两个基本性质：
（1） pi≥0，i=1,2,…,n；
（2）
pi 1
i
离散型概率分布的表示：
概率函数：P(X= xi)= pi
分布列： X = xi
随机变量概念及其 概率分布和特征
一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征 四、常见的离散型概率分布 五、常见的连续型概率分布
3.2 随机变量及其概率分布
一、随机变量的概念
一、随机变量的概念
随机变量——表示随机试验结果的变量
取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果
相关系数
XY
Cov(X,Y)
XY
相关系数ρ具有如下的性质：
相关系数ρ是一个无量纲的值
0≤| ρ| ≤1
当ρ=0，两个变量不相关（不存在线
性相关）
当 | ρ|=1，两个变量完全线性相关
3.2 随机变量及其概率分布
四、常见离散型随 机变量的概率分布
1. 二项分布 2. 泊松分布 3. 超几何分布