随机变量及其概率分布
(3)右连续性:
x0 R,
有 lim
xx0
F
(
x)
F
(
x0
)
.
注: 对任一满足上述三个性质的函数, 都可以作为某
随机变量的分布函数.
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第二章 随机变量及其概率分布
例1. 判断下列函数是否为分布函数:
F ( x)
o
xx
注: 连续型随机变量的分布函数 F(x) 是连续函数.
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第二章 随机变量及其概率分布
3.概率密度函数 f (x)的性质:X
x
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二、随机变量的分类
第二章 随机变量及其概率分布
离散型随机变量: 取值为有限个或可列无穷多个. 例如:抛掷一枚色子出现的点数.
连续型随机变量: 取值为某一区间上的值. 例如:零件尺寸与规定尺寸的偏差.
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机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
②引入随机变量是为了将试验结果数量化, 这样 就可以用微积分的理论对随机现象的规律性进行研究.
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则X的分布函数为:
0,
x3
F ( x)
PX
x
1/10, 1/10 3/10,
3 x 4
4 x5
pi
i: xi x
1/10 3/10 6/10, x 5
F ( x)
1
4/1 0 1/10
O
3
4
5
x
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是
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第二章 随机变量及其概率分布
例2. 设随机变量X的分布函数为
F (x) A B arctan x x ,
求A和B的值.
解: 由规范性知 F lim F (x) A B 0
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第二章 随机变量及其概率分布
0,
x0
例4.
设
X
~
F (x)
x / 2, 2 / 3,
0 x1 1 x
11/12, 2 x 3
1,
x3
求 PX 1, PX 3, P{X 1/ 2}, P2 X 4 .
x
f
(t)dt
（2）规范性:
+
f (x)dx 1;
注: 任一满足以上两条性质的函数, 都可以作为某连续型
随机变量的概率密度函数.
（3）Pa
X
b
F (b)
F (a)
b
a
f
(x)dx
;
（4）若f (x)在x处连续, 则 F(x) f (x) .
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第二章 随机变量及其概率分布
例如: 若用X表示掷一枚色子的试验中出现的点数, 则
{X 5} { X () 5} 表示掷出点数小于5这一事件,
{X 3} 表示掷出的点数为3点这一事件.
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第二章 随机变量及其概率分布
三、离散型随机变量及其分布列
1.定义: 设 xi (i 1,2,L )为离散型随机变量X的所有可
能取值, 事件 X xi的概率 PX xi pi,i 1,2,L
称为X的分布列(律), 常写成表格形式:
X x1 x2
xn
P p1 p2
pn
2.分布列的性质:
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第二章 随机变量及其概率分布
四、连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F (x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x)称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
y y f (x)
F (x2 ) F (x1)
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第二章 随机变量及其概率分布
2.性质:
F (x) P{X x}
(1)单调非降性: 若 x1 ,x2 则 F (x1) ;F (x2 )
(2)规范性: F lim F (x) 0; x F lim F (x) 1 x
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第二章 随机变量及其概率分布
一、试验结果的数量化
有些随机试验的结果是一个数值.
例如: 掷色子试验、产品的次品率检验等.
有些试验的结果不是数值, 但可转化为数值表示.
例如: 掷硬币试验, 可以用1表示正 0表示反面. 面,
综上所述, 所有随机试验的结果均可用数值表示,
因此, 可以引入一个变量来表示随机试验的结果.
x
F(x) f (t)dt
f
x
6x
1
0,
x,
0 x 1 其它
x
0dt 0,
0
0dt
x
0
6t
1
t
dt
3x2 2x3,
0
0dt
1
0 6t
1
t
dt
x
1 0dt
1,
x0 0 x1
x 1
注: 概率密度函数
分布函数
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第二节
第二章 随机变量及其概率分布
第二章
随机变量的概率分布
一、随机变量的分布函数 二、随机变量的分类 三、离散型随机变量的分布列 四、连续型随机变量的密度函数
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第二章 随机变量及其概率分布
一、随机变量的分布函数
例1. 设离散型随机变量X的分布列为:
X -1 0
12
p 0.2 0.3 0.1 0.4
则Y X 2 1 的分布列为:
Y1 p 0.3
25 0.3 0.4
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第二章 随机变量及其概率分布
二、连续型随机变量函数的分布
(1)非负性: pi 0 ; (2)规范性: pi 1. i
注: 任一满足以上两条性质的数列, 都可作为某离散型
随机变量的分布列.
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第二章 随机变量及其概率分布
例5. 袋中有编号为1-5的5个球, 从中任取3个球, 求取出 球的最大号X的分布列和分布函数.
x
2
F lim F (x) A B 1
x
2
解得 A 1 , B 1 .
2
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第二章 随机变量及其概率分布
例3. 设某随机变量的分布函数为
0,
F
x
Ax2
,
x0 0 x 1
x1
求A及 P{0.3 X 0.7}.
解: 利用右连续性知
lim F x F 1, 即 1 A12 , A 1.
x1
P0.3 X 0.7 F 0.7 F 0.3 0.72 0.32 0.4
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解: X的可能取值为3,4,5,
PX
3
1 C53
1; 10
PX
5
C42 C53
6. 10
PX
4
C32 C53
3; 10
所以X的分布列为: X 3
4
5
p1
3
6
10 10
10
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第二章 随机变量及其概率分布
第二章 随机变量及其概率分布
3.计算:
设 X ~ F x, a b R , 则有
PX b ˆ lim F x F b xb
PX b PX b PX b F b F b
PX a 1 PX a 1 F a
PX a 1 PX a 1 F a
Pa X b PX b PX a F (b) F (a)
