天津一中 2017-2018-2 高二年级数学学科期末质量调查试卷（理科） 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分钟。

第 I 卷 至 页，第 II 卷 至 页。

考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定 位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利! 一．选择题：（每小题 3 分，共 30 分）⎧⎪ x ⎛ ⎫ ⎪ 1．设集合 A = {x -1 < x < 2} ， B = ⎨ x 1 < 1⎪ < 1⎬ ，则 A B = （）⎪⎩ 8 ⎝ 2 ⎭⎭⎪A ． (0, 3)B ． (1, 3)C ． (0, 2)D ． (1, +∞) 2．命题“如果 x ≥ a 2+ b 2 ，那么 x ≥ 2ab ”的逆否命题是（）A ．如果 x < a 2+ b 2，那么 x < 2ab B ．如果 x ≥ 2ab ，那么 x ≥ a 2- b2C ．如果 x < 2ab ，那么 x < a 2+ b2D ．如果 x ≥ a 2- b 2，那么 x < 2ab3．位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为1向上或向右，并且向上和向右移动的概率都为是（ ），质点 P 移动 5 次后位于（2，3）的概率21 3A ．B ．44 57C ．D ． 16164．若 f ( x ) 在 R 上可导, f ( x ) = x 2+ 2 f ' (2) x + 3 , 则 f '(1) =（）A ． - 6B ． 6C ． 4D ． - 45．设 626(2 - x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a 6 x ，则 | a 1 | + | a 2 | + ⋅ ⋅ ⋅ + | a 6 | 的值是（ ）A ．665B ．729C ．728D ．636．如图，由曲线 y = x 2- 1 ，直线 x = 0, x = 2 和 x 轴围成的封闭图 形的面积是（）A ．1 2B ．3 4C ．3 D ． 27．若 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f ( x ) + xf '( x ) < 0 ，且 f (-4) = 0 ，则不等式 xf ( x ) > 0 的解集为（ ）A ．(－4,0)∪(4，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,4)C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(0,4)8．如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种.A．120 B．260C．340 D．420（8 题图）9. 已知函数 f ( x ) = - x 3- 7 x + sin x ，若 f (a 2) + f (a - 2) > 0 ，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．⎧x 2 + x , (-2 ≤ x ≤ -1)10．已知函数 f ( x ) = ⎨ ⎩ln(x + 2), (-1 < x ≤ 2)，若 g ( x ) = f ( x ) - a ( x + 2) 的图像与 x 轴有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（ ）A ． (0, 1 )B ． (0, 1 )C ．[ ln 2 , 1 )D ． [ 2 ln 2 , 1 ) e - 1 3e 2 e 3 3e二．填空题：（每小题 4 分，共 24 分）11．已知复数 z 满足 1 + i= 2i 3 + 2i 4 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z = ． z 12．若函数 y = x 3 - 3 x 2+ a 在[－1,1]上有最大值 3，则该函数在[－1,1]上的最小值是2．⎧⎪lg x , x > 08 13．设 f ( x ) = ⎨ b⎪ x + ⎰ t 2 dt , x ≤ 0 ，若 f ( f (1)) = ，则常数 b = ． 3 ⎩0 14． 已知函数 f ( x ) = ax 2 + bx (a > 0, b > 0) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 2， 8a + b 则 的最小值为 ．ab15．已知函数 f ( x ) =．m x - 1+ ln x 在 [e , +∞) 上存在极值点，则实数 m 的取值范围为16．已知函数 f ( x ) = ( x + 1)e x- 2 x - a , 若 f ( x ) < 0 有且只有一个整数解，则 a 的取值范围为．三、解答题：（共 4 题，共 46 分）17．一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是１，3 张卡片上的 数字是 2,2 张卡片上的数字是 3,从盒中任取 3 张卡片。

（1）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；（2）设 X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望。

（注：若三个数 a , b , c 满足 a ≤ b ≤ c , 则称 b 为这三个数的中位数）18．2017 年 8 月 20 日起，市交警支队全面启动路口秩序环境综合治理，重点整治机动车不礼让斑马线和行人的行为，经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了20 个路口近三个月的车辆违章数据，经统计得如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过 30 次的设为“重点关注路口”.（1）现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口的违章车次一个在，一个在中的概率；（2）现从支队派遣5 位交警，每人选择一个路口执勤，每个路口至多1 人，违章车次在的路口必须有交警去，违章车次在的不需要交警过去，设去“重点关注路口”的交警人数为X ，求X 的分布列及数学期望.19．已知点(2, 3) 在椭圆x2 y 2+ =1(a >b > 0) 上，设A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点，a2 b2上顶点，下顶点，且点C 到直线AB 的距离为4 7 b .7（1）求椭圆的方程；（2）设O 为坐标原点，M ( x1, y1) ，N ( x2 , y2 )( x1 ≠x2 ) 为椭圆上两点，且a2 x x+b2 y yOM ⋅ON = 是，说明理由.1 2 1 2 ，试问∆MON 的面积是否为定值，若是，求出定值；若不a2 +b2120．已知f (x) = ln x ++1，g(x) =x +x 1(x> 0) . x（1）求f ( x) 的极值；（2）函数h( x) = f ( x) -ag (x) 有两个极值点x1，x2 ( x1 <x2 ) ，若h( x1) <m 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一．选择题：（每小题 3 分，共 30 分）1．C 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D 7．D 8．D 9．A 10．C二．填空题：（每小题 4 分，共 24 分）i 11．2 16．1 <a ≤ 2112．213．2 14．9 15．m ≥e +1- 2e三、解答题：（共 4 题，共 46 分）17．解：5（1）84（2）X 1 2 3PEX =472817 43 142 84 1218．解：（1）根据频率分布直方图，违章车次在的路口有，在中的路口有，设抽出来的路口违章车次一个在，一个在的事件为，则．（2）由题知随机变量可取值 2，3，4，5，，，，．．219．解：x2 y 2（1）+=116 12（2）x1 ≠x2 知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m(m ≠ 0) ，x2 y 2代入+=1，并整理得(3 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + 4m2 - 48 = 0 .16 12∵∆= 64k 2m2 -16(3 + 4k 2 )(m2 -12) = 48(12 +16k 2 -m2 ) > 0 ，∴12 +16k 2 -m2 > 0 ，x +x =-8km，x x =4(m-12)，∴1 23+4k2 1 23 + 4k 22 23m 2 - 48k 2∴y1 y2 = (kx1 +m)(kx2 +m) =k x1x2 +km( x1 +x2 ) +m =又OM ⋅O N =x1 x2 +y1 y2 ，.3 + 4k 2a2 x x+b2 y y16x x+12y y∴x1x2 +y1 y2 = 1 2 1 2 =a2 +b21 2 1 2 ，16 +12整理得m2 = 6 + 8k 2 （满足∆> 0 ），∵MN ⋅x1-x2===m又点O 到直线MN 的距离d ，1 1∴S =⨯MN ⨯d =⨯=，∆MON 2 2 m∴∆MON 的面积为定值.20．解：（1）域为(0, +∞) ，f '(x) =1 -1=x -1，x x2 x2令f '( x) = 0 ，得x =1 ，当x ∈(0,1) 时，f '( x) < 0 ，f ( x) 单调递减，当x ∈ (1, +∞) 时，f '( x) > 0 ，f ( x) 单调递增，所以f ( x) 在x =1 处取得极小值，且极小值f (1) = 2 ，无极大值.（2）h( x) = f ( x) -ag (x) = ln x +1 +1-ax -a ，其定义域为(0, +∞) ，x xh'(x) =1-1 a -ax2 + x+ a-1 ( x-1)(ax + a-1)-a +==-，则x x2 x2 x2 x2当a = 0 时，h '( x) = 0 仅有一解x =1 ，不合题意.当a ≠ 0 时，令h '( x) = 0 得x =1 或x =1-a .a由题意得，1-aa > 0 ，且1-aa≠1，所以a∈(0,1) (1,1) ，2 2此时h( x) 的两个极值点分别为x =1 ，x =1-a .a1当a∈(0, ) 时，21-aa>1，所以x =1 ，x =1-a ，1 2 ah( x1) =h(1) = 2 - 2a ，而2 - 2a ∈(1, 2) ，又h( x1) <m 恒成立，则m ≥ 2 .1当a ∈ ( ,1) 时，21-aa<1，所以x =1-a ，x =1 ，1 a 2h(x) =h 1-a) =ln1-a+ 2a .1 (a a1- a-2a2 + 2a -12(a -1)2 +12 2设ϕ(a) = lna + 2a ，则ϕ'(a) =a(1 -a)=-< 0 ，a(1 -a)所以ϕ(a) 在(1 ,1) 上为减函数，ϕ(a) <ϕ(1) =1，2 2所以h( x1) <1，又h( x1) <m 恒成立，则m ≥1.综上所述，实数m 的取值范围为[2, +∞) .。