13级常微分方程期中考试试卷
班级__________姓名__________学号________得分__________
一、填空题（102⨯'）
1、微分方程0)(
22=+-+x y dx
dy dx dy n 的阶数是________________________。

2、微分方程x dx
dy 2=与直线32+=x y 相切的解是_____________________。

3、x e y dx dy +=的通解为___________________________________________。

4、若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是__________________________________________。

5、对于任意的),(1y x ，R y x ∈),(2（R 为某一矩形区域），若存在常数
)0(>N N 使_________________，
则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件。

6、如果),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx
dy =的通过G 内任一点),(00y x 的解)(x y ϕ=可以向左右延拓，直到__________________________________________。

7、方程3
1-++-=y x y x dx dy 经过代换__________________后，可化为齐次方程。

8、若),(y x f 在矩形区域R 上___________________且________________则方程),(y x f dx
dy =存在唯一解。

9、微分方程dy
dx dx dy x y +=的奇解为_______________________________。

10、若函数组),,2,1)((n i t x i =在],[b a 上线性相关，则=)(t w ___________。

二、求下列方程的解（68⨯'）
1、
)1cos(++=y x dx dy .
2、
3
y x y dx dy +=.
3、
226y x y dx dy -=.
4、0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy .
5、x x x y x x x y dx dy cos sin sin cos +--=.
6、)1ln(2y y '+=.
三、求定义在矩形区域2x 2:R ≤≤-，2y 2≤≤-上的方程22y x dx
dy +=通过)0,0(点的第二次近似解，
并利用解的存在唯一性定理确定过)0,0(的解的存在区间。

（8'）
四、求一曲线方程，使其上任一点处的切线与坐标轴围成的图形的面积等于2.（6'）
五、综合题（29⨯'）
1、设方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的系数)(x p 、)(x q 在区间),(b a 上连续，试证：若方程的两个解)(1x y ，)(2x y 在),(1b a x x ∈=时达到极值，则)(1x y ，)(2x y 在),(b a 上线性相关。

2、若函数)(x y 具有一阶连续的导数. 试求出由积分方程ds s y s y x y x ⎰-'-=0)](4)([(511)(确定的函数。