数学物理方法课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称：数学物理方法所属专业：物理、应用物理专业课程性质：数学、物理学学分：5（二）课程简介、目标与任务这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。
本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。
这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。
一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。
（四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著3. 《物理中的数学方法》李政道著4. 《数学物理方法》梁昆淼编5. 《数学物理方法》郭敦仁编6. 《数学物理方法》吴崇试编二、课程内容与安排第一部分线性空间及线性算子第一章R3空间的向量分析第一节向量的概念第二节R3空间的向量代数第三节R3空间的向量分析第四节R3空间的向量分析的一些重要公式第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析第一节R3空间中的曲线坐标系第二节曲线坐标系中的度量第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间第一节线性空间的定义第二节线性空间的内积第三节Hilbert（希尔伯特）空间第四节线性算符第五节线性算符的本征值和本征向量第二部分复变函数第四章复变函数的概念第一节映射第二节复数第三节复变函数第五章解析函数第一节复变函数的导数第二节复变函数的解析性第三节复势第四节解析函数变换第六章复变函数积分第一节复变函数的积分第二节Cauchy（柯西）积分定理第三节Cauchy（柯西）积分公式第四节解析函数高阶导数的积分表达式第七章复变函数的级数展开第一节复变函数级数第二节解析函数的Taylor（泰勒）展开第三节Taylor展开的理论应用第四节解析函数的Laurent（洛朗）展开第八章留数定理第一节留数定理第二节留数的一般求法第三节解析函数在无穷远点的留数第四节留数定理在定积分中的应用第五节Hilbert（希尔伯特）变换第三部分积分变换与δ函数第九章Fourier（傅里叶）变换第一节Fourier级数第二节Fourier变换第三节Fourier变换的基本性质第十章Laplace（拉普拉斯）变换第一节Laplace变换第二节Laplace变换基本性质第三节Laplace变换的应用第四节关于Laplace变换的反演第十一章δ-函数第一节δ-函数的定义第二节δ-函数的性质第三节δ-函数的导数第四节三维δ-函数第五节δ-函数的Fourier变换和Fourier级数展开第四部分数学物理方程第十三章波动方程、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题第一节二阶线性偏微分方程的普遍形式第二节波动方程及其定解条件第三节输运方程及其定解条件第四节Poisson方程及其定解条件第五节Laplace方程和调和函数第六节三类方程定解问题小结第十四章分离变量法第一节齐次方程齐次边界条件下的分离变量法第二节Sturm—Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题第三节非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法第四节非齐次边界条件下的分离变量法第五节分离变量法小结第十五章曲线坐标系下方程的分离变量第一节球坐标系下方程的分离变量第二节柱坐标系下方程的分离变量第三节二阶线性常微分方程的级数解法第十六章球函数第一节Legendre（勒让德）多项式第二节Legendre多项式的性质第三节具有轴对称的Laplace方程的求解第四节连带Legendre函数第五节球函数第十七章柱函数第一节Bessel（贝塞尔）函数第二节Bessel函数的递推关系第三节柱函数的定义第四节整数阶Bessel函数J n(x)的生成函数第五节Bessel方程的本征值问题第六节球Bessel函数*第十八章Green（格林）函数法第一节微分算子的基本解和Green函数的定义第二节Laplace算子的基本解第三节Laplace算子的Green函数第四节Laplace算子的镜像Green函数法第五节Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解第六节输运算子的Green函数第七节波动算子的基本解（一）教学内容与学时分配本课程讲授90学时（不包括习题课）。
（二）内容及基本要求第一章R3空间的向量分析主要内容：1. R3空间中的向量分析（§1.1）2. R3空间中的向量代数与分析（§1.2、§1.3）3. R3空间中的向量分析的一些重要公式（§1.4）【掌握】 1.向量的概念及运算规则；2.Einstein求和约定、Kronecker delta符号δij及Levi－civita符号∈ijk的用法；3.标量场、向量场的定义及“del”算符的定义；4.R3空间中向量分析的一些基本运算公式及其推导方法；【了解】标量场的梯度、向量场的散度和旋度的定义。
第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析主要内容：1.R3空间中的曲线坐标系及其度量（§2.1）（§2.2）2.曲线坐标系中标量场的梯度（§2.3）3.曲线坐标系中向量场的散度、旋度（§2.4）（§2.5）4.曲线坐标系中Laplace算符▽2（§2.6）【掌握】 1.R3空间曲线坐标系度量的概念及含义；2.曲线坐标系中标量场梯度的表达式；3.曲线坐标系中向量场散度的表达式；4.曲线坐标系中向量场旋度的表达式；5.曲线坐标系中Laplace算符▽2的表达式。
【了解】梯度、散度、旋度及Laplace算符 2在正交曲线坐标系中表达式的推导过程，并能由此推出在直角坐标系、球坐标系及柱坐标系中的表达式。
第三章线性空间主要内容：1.线性空间的定义及其内积（§3.1）（§3.2）2.Hilbert空间的定义（§3.3）3.常见线性算符（§3.4）4.线性算符的本征值与本征向量（§3.5）【掌握】 1.线性空间ℒ的定义以及内积和内积空间的定义；2.Hilbert（希尔伯特）空间的定义；3.向量空间中线性算符及线性变换的定义，几种简单的线性算符的形式；4.线性算符的本征值及本征向量的定义及物理意义；5.本征值与本征向量的求解。
【了解】 1.施密特正交归一化方法；2.几种线性算符的证明过程。
第四章复变函数的概念主要内容：1.映射的概念（§4.1）2.复数与复变函数（§4.2）（§4.3）【掌握】： 1.映射的定义，掌握复变数、复变函数及区域的概念；2.无穷运点的定义；3.几种常见的初等函数的定义及性质；4.复数的几何表示及其他表达式。
【了解】： 1.复数的定义及其运算法则；2.函数的多值性及处理办法；3.复球面的概念。
第五章解析函数主要内容：1.复变函数导数与解析性和复势的概念（§5.1、§5.2、§5.3）2.解析函数变换（§5.4）【掌握】 1.复变函数的极限及连续性的定义，导数的定义及求导的基本公式和规则；2.解析函数的定义、条件及解析函数实虚部的关系；【了解】 1.复势的概念；2.保角（共型）变换的概念；第六章 复变函数积分主要内容：1.复变函数的积分（§6.1）（§6.2）2.Cauchy （柯西）积分定理及其公式（§6.3）3.解析函数高阶导数的积分表达式（§6.4）【掌握】：1.复变函数积分的定义；2. 利用Cauchy 积分定理求解某些回路积分。
【了解】： 1.复变函数积分的某些性质；2.柯西积分公式的推导；3.多连通区域柯西积分定理的推导。
第七章 复变函数的级数展开主要内容：1. 复变函数的级数（§7.1）2. 解析函数的Taylor （泰勒）展开（§7.2）3. Taylor 展开的理论应用（§7.3）4. 解析函数的Laurent （洛朗）展开（§7.4）【掌握】 1.幂级数的定义及收敛的概念，2.解析函数的Taylor 展开及Laurent 展开的概念和展开方法；3.函数孤立奇点的定义、奇点的类型、阶数和特点；4.复数级数的定义及收敛性的概念，收敛判据及收敛性质，掌握函数项级数一致收敛的性质。
【了解】 1.最大模定理； 2.Liouville 定理。
第八章 留数定理主要内容：1.留数定理及其一般求法（§8.1、§8.2）2.留数定理在实积分中的应用（§8.4）3.希尔伯特变换（§8.5） ，【掌握】 1.留数定理的概念；2.极点的留数计算方法；3.⎰π20)sin ,(cos dx x x R 型积分、⎰∞∞-dx x f )(型积分、dx e x f imx ⎰∞∞-)(型积分、实轴上有单极点的函数积分的特点及计算方法。
【了解】 1.利用留数定理计算某些其他类型积分的方法；2.解析函数在无穷远点除的留数；3.希尔伯特变换。
第九章 Fourier 变换主要内容：1.Fourier 级数与变换（§9.1、§9.2）2.Fourier 变换的基本性质（§9.3）【掌握】 有理分式的反演方法、延迟定理、位移定理、卷积定理。
【了解】 延迟定理、位移定理及卷积定理。
第十章 Laplace 变换主要内容：place 变换与其基本性质（§10.1、§10.2）place 变换的反演（§10.3）place 变换的应用（§10.4）【掌握】 延迟定理、位移定理及卷积定理。
【了解】 普遍反演公式。
第十一章 -δ函数主要内容：1.-δ函数的定义与性质（§11.1、§11.2）2.-δ函数的导数和三维-δ函数（§11.3、§11.4）3.-δ函数的Fourier 变换及Laplace 变换（§11.5）【掌握】 1.δ-函数的定义及性质；2.δ-函数的意义；【了解】 1.δ-函数的导数；2.普遍反演公式；3.δ-函数的其他表达式。