题目：一阶常微分方程的若干求解技巧院（系）：理学院专业：信息133班组长：韩静成员：李盛楠、刘艳玲、刘巧爱2015年 5月 6日摘要一般的一阶常微分方程没有通用的初等解法，变量分离方程和全微分方程是一阶常微分方程中最基本的“变换”类型。

我们在理论学习常微分方程时，总是对变量可分离方程、可化为变量方程、齐次方程、可化为齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、恰当方程、积分因子法、一阶隐式方程求解法求解一阶线性微分方程，不同类型的方程给出不同的解法。

关键词：一阶常微分方程变量分离方程可化为变量方程齐次方程一阶线性微分方程伯努利方程恰当方程积分因子法一阶隐式方程求解法目录一、变量分离方程 (1)二、可化为变量分离方程 (2)三、齐次方程 (3)四、线性齐次方程 (6)五、一阶线性非齐次微分方程 (8)六、伯努利方程 (10)七、恰当方程求解常用方程 (11)八、积分因子法求解法 (13)九、一阶隐式微分方程及其参数表示 (19)一、变量分离方程形如)()(y x f dxdy ψ= (1.1) （其中)(x f .)(y ψ是x.y 的连续函数）求解过程如下：（1）变量分离：dx x f y dy )()(=ψ（ 0)(≠y ψ） (1.2) （2）两边分别同时积分：c dx x f y dy +=)()(ψ (1.3) （3）考虑0)(=y ψ，当0y y =不包括在方程通解中时，加上特解0y y =,例：求解方程y x P dxdy )(=的通解，其中)(x p 是x 的连续函数解：变量分离，得到dx x p ydy )(， 两边同时积分得，,)(||ln 1c dx x p y +=⎰令⎰⋅=⇒=±dx x p e c y c c e )(1其中y=0也是方程的解，且包含在通解里，因此这里的c 可以使任意常数。

二、可化为变量分离方程形如)(x yg dx dy=对上式做变量变换：x yu =，)(u g u dx dyx =+原方程： x uu g dx du -=)(（2.1） （2.1）式是一个变量可分离方程，计算方法同一例：求方程x yx ydx dytan +=：解：令u dx du x dx du u x y +==,带入得uu u dx dux tan +=+分离变量：x dxudu =cot两边分别同时积分：,||ln |sin |ln 1c x u +=⎩⎨⎧====±⋅±=0sin 0tan .sin ,,sin 11u u cx u c e x e u c c若允许c=0,则方程组的通解为：为任意常数）c cx x y(sin =(2)形如),(222111均为常数ii b a c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.2) 分三种情况来讨论：)(,(212121为任意常数常数）c c kx y k c c b b a a +====21222222212121;;c u c kub a dx dy b a dx dy y b x a uc c k b b a a +++=+=+=≠==令属于变量可分离方程，再令⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧-=-=002211y b x a y b x a y Y x X βα同上属于变量分离方程三、齐次方程1、定义形如)(y xdx dy α= (3.1)的微分方程称为齐次方程 解法：作变量代换x yu =即xu =y ， ∴dx dux u dx dy+=，代入原式)(u dx dux u α=+,即 x uu dx du -=)(α两边积分，得⎰⎰+=-c x dx u u du )(α 积分后再用x y代替u ，便得原方程的通解.当存在使0u ，使0)(00=-u u f 则0u =u 是新方程的解.例1：求解微分方程0cos )cos (=+-dy xyx dx x y y x解： xy x y x y x y x x y y x dx dy cos cos 1cos cos --=--= 令u=x y u =，即xu y =,所以得到dx du x u dx dy += 代入得 uu u dx du xu cos cos 1--=+ ⎰⎰+-=c x dx udu cos c x u +-=ln sin 微分方程的解为c x x y +-=ln sin 2、齐次方程的遗失解问题在求解一阶齐次微分方程中, 我们的求解方法是运用变量变换x y u =，代入到一阶齐次微分方程)(xy g dx dy =中, 就可以把方程化为变量可分离的方程了。

这是一种既简便又常用的方法, 是求解这类微分方程的模式, 但这种模式的解法往往不注意也会产生在求解的过程中遗失解的问题。

1、假设k u =(k 是常数)由0=k -g(u) 可以知道kx =y 是微分方程(2)的解, 也就是说明kx =y 这个解正好是一阶齐次微分方程在分离变量时所遗失的解, 下面通过例子来说明这点.例1 ：求解方程222yx xy dx dy += 解：该方程可以改写为化成了2)(12xy x ydx dy +=一阶齐次微分方程, 令x y u =把u dxdu x dx dy +=代入方程中得到 212uu u dx dy x +=+ 经整理分离变量后得到 xdx du u u u =-+321 最后两边积分，整理得到通解)(22y x c y +=若0)(=-u u g 就是上面方程中03=-u u 的可以得到u 的三个不同的值11-=u ，02=u ，13=u ，由此得出x y ±=可以看出也为原方程的解，它就是遗失的解。

2、假设 0=x 时形如0=y)dy ,q(x + x y)d ,p(x (3.2)的微分方程(其中)y ,p(x , y) ,q(x 是n 次齐次式)的这类微分方程的遗失解问题。

例 2 ：求解方程 0=xdy -)dx 2y +(x , 其中2y +x =y) ,p(x ,-x =y) ,q(x 都是一次齐次式。

解：方程可以化为xy dx dy 21+=,令x y u =得到 u dxdy x u 21+=+ 经过代入到上面的化简的方程后得到u dxdu x +=1 通过分离变量、积分, 整理后就得到原方程的通解 2)(cx y x =+而 0=x 代入到原方程中也成立, 说明它也是原方程的解, 是一个遗失解。

通过以上情形问题的讨论, 我们发现在求解一阶齐次微分方程中, 特别是经过变量变换xy u =后, 会产生微分方程解的遗失, 是这个变换式所带来的, 从而使求解不完整.因此, 我们在求解一阶齐次微分方程的解时, 要把遗失解补上。

四、线性齐次方程1、线性方程对于一般的二元函数),(y x f ,我们无法求出一阶微分方程),('y x f y = （4.1）的解，在处理任何问题时，我们总是从最简单的一些情况入手。

对于一个未知的问题，我们总是设法把它转化成为一个已经解决过的形式，方程（4.1）的最简单的情况是),(y x f 与未知函数y 无关，即)('x g y = （4.2）（4.2）的求解问题实际上就是求的原函数，这就可以通过不定积分来实现，即⎰+=c dx x g y )( （4.3）表达式（4.3）为方程（4.2）的通解。

一阶微分方程（4.1）的另一种简单形式为0)('=+y x p y （4.4） 方程（4.4）关于未知函数y 和其导数y ’是线性的，故称为线性方程2、线性齐次方程当方程（4）中右端函数0)(=x g 时，我们称0)('=+y x p y （4.5） 为线性齐次方程，求解（5）的基本思路是对它进行恒等变形，将其左端整理成某一个函数的导函数，再进行积分得出它的解。

例1：求线性齐次方程0'=+y y 的通解。

解 ：对方程两端同乘以x e 得0'=+x x ye e y由于x x x ye e y ye +='')(且0≠x e 故原方程等价于方程0)('=x ye由于x ye 的导数恒为零，故c ye x =其中c 为任意常数，即方程的通解为x ce y -=由上述求解过程，我们看出，只要对（5）两边乘以适当的函数，就可以将其左端合并成某一函数的导数，根据我们的求导的经验，对 (4.5）两边同时乘以函数))((⎰dx x p e 后得0))(()())(('=+⎰⎰dx x p ye x p dx x p e y （4.6）即))((⎰-=dx x p ce y 对上式两边积分，再整理后得（5）的通解为))((⎰-=dx x p ce y (4.7)（4.7）就是线性齐次方程（4.5）的通解表达式，以后对任一齐次方程（4.5）可以直接由（4.7）式给出它的解。

五、一阶线性非齐次微分方程一阶线性微分方程一般形式：0)()()(=++x c y x b dxdyx a （5.1） 形如：)()(x Q y x P dxdy+= 当)(x Q 恒等于0时，方程称为一阶齐次线性方程。

当)(x Q 不等于0时，称为一阶非齐次线性方程。

(a)我们先讨论一阶线性方程，即：y x P dxdy)(=由y x P dx dy )(=，变量分离方程：y x P ydy )(=，两边同时积分， ⎰⎰+=1)(C dx x P ydy（5.2） 得通解为：⎰=dx x P ce y )(，c 为任意常数。

(b)常数变异法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。

我们先讨论下一阶线性非齐次微分方程的常数变异法，再使用常数变异法来求非齐次线性方程的通解。

先设)()(x Q y x P dxdy +=有形如齐次线性微分方程的解⎰=dxx P ce y )(，将其中的常数c 变异为c （x),即设：⎰=dx x P e x c y )()(。

则有：)()()()()()()()()(x Q x c x P x P dxdy e e x c e x c dxx P dx x P dx x P +⎰=⋅⎰+⎰=' （5.3） 得通解为：))(()()(c dx x Q y e e dxx P dxx P +⎰⎰=⎰-，c 为任意常数。

则可得：)(000)()(0)(dx y y xx dt t P dtt P ex Q e xx xx ⎰⎰+⎰=-为非齐次线性方程的一个特解。

即一阶线性非齐次微分方程的通解等于对应齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。

例1：求解方程.22yx y dx dy -= 解：化简可得y x yy y x dy dx -=-=222 y x Q yx P -==)(,2)( 通解为：).)((22c dydy y dy x e e y y +⎰-⎰=⎰-)ln ()1(22c y y c dy yx y+-=+-=⎰，c 为任意常数即：)ln (2c y y x +-=，c 为任意常数.0=y总结:根据此法，我们知道，若能确定一个方程为一阶线性微分方程，求解它时只需套用公式。