现代数字信号处理复习题一、填空题1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。

判断随机信号是否广义平稳的三个条件是：（1）x(t)的均值为与时间无关的常数：C t m x =)( （C 为常数） ；（2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(ττx i i x j i x R t t R t t R =+=；（3）信号的瞬时功率有限，即：∞<=)0(x x R D 。

高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪声信号。

信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。

广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。

2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E 定义为：其功率P 定义为：离散随机信号f(n)在区间上的能量E 定义为：其功率P 定义为：注意:(1)如果信号的能量0<E<∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。

(2)如果信号的功率0<P<∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。

3、因果系统是指：对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。

4、对平稳随机信号，其自相关函数为)(τx R ，自协方差函数为)(τx C ， （1）当0→τ时，有：)(τx R =x D ，)(τx C ＝2x σ。

（2）当∞→τ时，有：)(τx R =2x m ，)(τx C ＝0。

5、高斯－马尔可夫随机信号的自相关函数的一般表达式可表示为:||)(τβητ-e R x ＝ 。

6、高斯–马尔可夫信号)(t x 的自相关函数为||410)(ττ-e R x ＝，其均值 0)(=∞=x x R m ，均方值10)0(==x x R D ,方差102==x D σ。

其一阶概率密度函数的表达式为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-=102exp 201)(2x x p π 。

注意：（1）)()()(22t m t t D x x x +=σ（2）一阶高斯随机信号的概率密度函数为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=222)(exp 21)(σσπx m x x p ， 式中，x x D R ==)0(2σ7、求)1(MA 的功率谱的一般表达式为:212221)()(ωωγσσωj j x e e H S -+==。

8、由Wold 分解定理推论可知，任何AR 或ARMA 序列均可用 无限阶的惟一MA 模型MA(∞) 来表示。

9、经典功率谱估计的方法主要有 周期图法(直接法) 和 相关图法(间接法) 两大类。

对经典谱估计方法的改进措施主要有: (1)经典谱估计性能分析；(2)Bartlett 法谱估计；(3)Welch 法谱估计 。

10、设计维纳滤波器时使用的正交性原理是指： 在最小均方误差（MMSE ）准则下，误差e(n)与每一个输入样本x(n-k)都是正交的 。

11、在训练自适应滤波器时，收敛速度与学习率及输入信号的自相关矩阵的最小特征值取值有关。

学习率越大，收敛速度越 快 ；最小特征值越小，收敛速度越 慢 。

12、谱估计的分辨率是指 估计值)(ˆωS保证真实谱)(ωS 中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力 ，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是 窗函数的主瓣宽度。

注意：主瓣越宽，分辨率越低。

二、问答题1、什么叫能量信号？什么叫功率信号？ 答：（1）如果信号的能量0<E<∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。

（2）如果信号的功率0<P<∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。

2、什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？ 答：（1）具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。

（2）对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。

注意：因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出响应的系统。

也就是说，因果系统的响应不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。

3、如何判断一个线性时不变系统是稳定的？ 答：一个线性时不变系统是稳定的充要条件：∑∞-∞=∞<n n h )(（1）充分性：如果∑∞-∞=∞<n n h )(成立，对∀有界的输入，输出也是有界的；（2）必要性：如果系统稳定，∑∞-∞=∞<n n h )(成立。

4、强平稳随机信号和广义平稳随机信号是如何定义的？ 答：（1）（2）5、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。

答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：))(()()(τττωωτx j x x R F d e R S ==-∞∞-⎰ωωπτωτd e S R j x x ⎰∞∞-=)(21)((2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：mj m xj x em R e S ωω-∞-∞=∑=)()(ωπωππωd e eS m R m j j xx ⎰-=)(21)(6、试列举出随机信号的功率谱密度函数的三条性质。

答：7、什么是估计的偏差？什么叫无偏估计？什么叫渐进无偏估计？答：假设估计量为a （a 可以是均值、方差、自相关函数等），它的估计值为aˆ，如果a a E =)ˆ(，则称a ˆ为a 的无偏估计，否则称aˆ为有偏估计； 定义估计的偏差为：a aE b -=)ˆ(~，如果估计值a ˆ不是无偏估计，但随着样本数目的增加，其数学期望趋近于真实的估计量，即：0])ˆ([lim =-∞→a aE N ，则称估计值a ˆ为渐近无偏估计。

8、请写出ARMA ),(q p 的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。

答：（1）ARMA ),(q p 的数学模型表达式：式中，q p γγγϕϕϕ,...,,,,...,,2121为常数，100==γϕ （2）该模型的电路框图如下所示：9、请写出AR )(p 的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。

答：（1）AR )(p 的数学模型表达式:（2）该模型的电路框图如下所示：注意：AR )(p 模型又称全极点模型。

10、请写出MA )(q 的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。

答：（1）MA )(q 的数学模型表达式:（2）该模型的电路框图如下所示：注意：MA )(q 模型又称全零点模型。

11、什么是谱估计的分辨率？在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素是什么？答：谱估计的分辨率是指估计值)(ˆωS保证真实谱)(ωS 中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度,主瓣越宽，分辨率越低。

12、BT 谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。

答：（1）相关图法又称BT 法，BT 谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。

（2）此方法的具体步骤是：①给出观察序列)1(),...,1(),0(-N x x x ，估计出自相关函数：∑--=-≤≤+-+=mN n N m N ，m n x n x Nm R1011)()(1)(ˆ②对自相关函数在（-M ，M ）内作Fourier 变换，得到功率谱：mj MMm e m m RSωωω--=∑=)()(ˆ)(ˆ式中，一般取1-≤N m ，)(m ω为一个窗函数，通常可取矩形窗。

可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。

13、AR 谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？ 答：（1）AR 谱估计的基本原理是： p 阶的AR 模型表示为：∑=+--=pi i n u i n x n x 1)()()(ϕ其自相关函数满足以下YW 方程：取p m ,...,2,1,0=，可得到如下矩阵方程：在实际计算中，已知长度为N 的序列)(n x ，可以估计其自相关函数)(ˆm R x，再利用以上矩阵方程，直接求出参数p ϕϕϕ,...,,21及2σ，于是可求出)(n x 的功率谱的估计值。

（2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--001)0()1()()1()0()1()()1()0(21σϕϕp x x x x x x x x x R p R p R p R R R p R R R14、Burg 算法有什么特点？答：(1)不需要估计自相关函数)(ˆn R m,而是从数据)(n x 直接求解； (2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值；(3)对于短序列（N 较小），Burg 算法的性能不亚于LD 算法的性能，N 较大时，两者性能相当； (4)Burg 算法估计的参数满足，p ，，，i i ...211=≤ϕ，即求出的AR 模型总是稳定的；(5)对于有噪声的正弦信号，Burg 算法存在着对正弦初相位的敏感问题，尤其当数据长度比较短时，随着频率偏差的增加，这种敏感性就越来越明显，从而会导致与相位有关的频率偏差。

15、试简要说明设计维纳滤波器的一种方法。

答：如果设计的滤波器是线性非时变的，并按照最小均方误差准则来设计，得到的滤波器即是维纳滤波器。

16、梯度搜索法的基本原理是什么？Widrow 提出的LMS 算法与基本梯度法有何不同？试写出Widrow 提出的LMS算法的基本步骤。

答：（1）梯度搜索法的基本原理：课本第165页（2）Widrow 提出的LMS 算法与基本梯度法的区别：课本第168页（3）Widrow 提出的LMS 算法的基本步骤：课本第168页三、证明题1、均值函数、均方函数及方差函数三者之间满足如下关系：)()()(22t m t t D x xx +=σ。

证明：2、试证明：对于广义平稳随机信号，其自相关函数、自协方差函数与均值之间如下关系：2)()(x x x m C R +=ττ。

证明：3、对平稳随机序列，设110,,-N x x x ，是观察到的N 个样本，如果其均值x m 已知，对方差的估计为：∑-=-=1022)(1ˆN n x n x m x Nσ，请证明，此估计是无偏的，并且是一致的。

证明：4、 令)(n x 是一个平稳白噪声过程，它的均值为零、方差为2τσ。