1. 假设A,B 都是实正规矩阵, 证明A,B 可同时正交对角化(即存在正交矩阵Q,使得Q T
AQ 和Q T
BQ 都是对角矩阵)的充分必要条件是A,B 可交换(即AB=BA).
2. 证明矩阵AB 和BA 的特征值都相同, 而且非零特征值的代数重数也相同. 并利用这个结论证明: (1) tr(AB)=tr(BA), (2) det(I+xy T )=1+y T x, 其中x,y 都是n 维向量.
3. 假设A,B 都是实对称矩阵, 且A 正定, 证明A,B 可同时对角化, 即存在非奇异矩阵C,使得C T AC 和C T
BC 都是对角矩阵.
4. 证明若矩阵X 满足AX-XB=0, 且矩阵A,B 没有相同的特征值, 则必有X=0.
5. 设H=A+iB 是一个正定Hermite 矩阵, 其中A,B 是n 阶实矩阵, 证明矩阵A B B A -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是对称正定的.
6. 设n 阶矩阵A 满足A 3
=I, 试导出A 的Jordan 标准型可能具有的形状.
7. 证明矩阵F 范数与向量2范数相容, 即2
2
.F
Ax A
x
≤
8. 设v 是n 维非零实向量, E 是n 阶实矩阵, 证明1
22
2
2
(()).F
T
F
T
T
Ev v E E I v vv v v
--=+
‖‖‖‖
9. 设200011,20
1A π⎡⎤⎢
⎥=
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
证明2
20
0044sin 011.00
1A A A ππ
⎡⎤
⎢⎥=
-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
10. 设6
222
20,0
2A ⎡⎤
⎢
⎥
=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
计算ln .A
11. 证明对任意n 阶矩阵A, 有2
1,sin(2cos(2))2sin cos .
2cos A A A A A =-=
12. 形如
(,)T
k
N y k I ye =-的矩阵称为Gauss-Jordan 变换, 其中y 是n 维实向量. (1) 假定
N(y,k)非奇异, 给出计算其逆的公式. (2) n 维实向量x 满足什么条件才能保证存在n 维实向量
y 使得N(y,k)x=e k
.
13. 证明222x y x y +=+‖‖‖‖‖‖当且仅当x 与y 线性相关, 且
0.T
x y ≥
14. 设m n
A R ⨯∈, 证明m ax ,2
2
m ().ax n
m
T
x R
y R
A x
x y y A σ∈∈=‖‖‖‖
15. 设()m n n A R m ⨯∈≥的奇异值为1n σσ≥⋯≥ , 证明20
2
.m in
x n A x x σ≠=‖‖‖‖
16. 设S 是实反对称矩阵, 证明I-S 非奇异, 且矩阵(I-S)-1
(I+S)是正交矩阵.
17. 设rank(A)=r, 证明2.F A r A ≤‖‖‖‖
18. 设m n A R ⨯∈的奇异值分解为T
A V
U =∑, 计算下列矩阵的奇异值分解, 要求用
,,U V ∑来表示: (1) (A T
A)-1
, (2) (A T
A)-1A T
, (3) A(A T
A)-1
, (4) A(A T
A)-1A T
19. 设n n A R ⨯∈的奇异值分解为1
11,[]
[],,,,T
T
n n n V
u v v A U u σσ⎡⎤
⎢
∑⋯⋯⎥==⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
若0
,0T A H A
⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦证明矩阵H 的2n 个特征值为i σ±,
.i i v u ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
±。