习题 一1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ cos sin sin cos x x x x ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++⎡⎤⎢⎥-++⎣⎦，故由归纳法知cos sin sin cos nnx nx A nx nx ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦。

（2）直接计算得4A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。

（3）记J=0 1 0 1 1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 ，112211111 () n n n nn n n n n n n nnni i n inn i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C aa -----=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n∑。

2．设1122 (1,0),0 a A P P a A E λλ-⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则由得21112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1时,不可能。

而由2112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

注：2A E =-无实解，nA E =的讨论雷同。

3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2n 个未知数时线性方程AX -XA=0有2n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，通过直接检验即发现A 为纯量矩阵。

110n n a a a -+++=4．分别对（A B ）和A C ⎛⎫⎪⎝⎭作行（列）初等变换即可。

5．先证A 或B 是初等到阵时有()***AB B A =，从而当A 或B 为可逆阵时有()***AB B A =。

考虑到初等变换A 对B 的1n -阶子行列式的影响及*1A A -=即可得前面提到的结果。

下设 00 0r E PAQ ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，（这里P ，Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可：*** 0 00 00 0r r E E B B ⎛⎫⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， （1） r<n-1时，因秩小于n-1的n 阶方阵的n-1阶子式全为0，结论显然；（2） r=n-1时，*00 00 10 0r E ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，n12**nn 0 0 0 0 B 0n B B rE B ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，但 1112111121212222122212 00 0 0 0 0n n n r n n n nn b b b b b b b b b E b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，故 *00 0r E B ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭n12 nn 0 B 0n B B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦**00 0r E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

6．由()()0()0r A r A AX AX AX ⊥⊥==⇔=及，即0AX =与0A AX ⊥=同解，此即所求证。

7．设其逆为()ij a ，则当I 固定时由可逆阵的定义得n 个方程()()()121111123n j j j i i i in ij a a w a w a w δ----++++= ，1,2,j n = ，其中ij δ为Kronecker 符号。

对这里的第l 个方程乘以()()1j n l w--然后全加起来得()()()()111j n j n i ij nw a w ----=，即得()()111j n iij a w n-+-=。

注：同一方程式的全部本原根之和为0，且mw 也是本原根（可能其满足的方程次数小于n ）。

习题 二1． 因11x x x ⊕==⊕，所以V 中零元素为1，x 的负元素为1x，再证结合律、交换律和分配律。

2． 归纳法：设121s W W W V -≠ ，则下面三者之一必成立：（1）121s s W W W W -⊂ ； （2）121s s W W W W -⊃ 。

（3） 存在121\s s W W W W α-∈ 及121\()s s W W W W β-∈ 。

如果是（1）（2）则归纳成立，如果是（3）则选s 个不同的数12,,,s k k k ，则必有某一个12i s k W W W αβ+∉ 。

3． U 是满足方程tr(A)=0解向量空间，其维数为21n -，故其补空间为一维的，可由任一迹非0的矩阵生成。

4． 易证线性封闭。

又设V 中元素为1211n n n n f a x a x a ---=+++ ，则U 是满足方程110n n a a a -+++= 的子空间。

故U 的维数为n-1，其补空间为一维的，故任取一系数非0且不满足此方程式的元即可生成此补空间。

5． 记U=()123,,u u u ，()12,W w w =，把U,W 放在一起成4行5列的矩阵，其Hermite 标准形为1 4 5 1 2150 1 1 390 0 0 1 30 0 0 0 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 故U W 的基为123w w -+，U 的基为123w w -+，1u ；W 的基为123w w -+，1w ；U W +的基为123w w -+，1u ，1w 。

6．0(,,,)0x y z w U W x y z w x y z w ⎧+++=⎫⎧=⎨⎨⎬-+-=⎩⎩⎭， 1 1 1 121 1 1 1r ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，故()()()dim 2,dim dim dim dim 4U W U W U W U W =+=+-= ；()()1,1,1,1U W -- 的基为方程组的解向量0,1,1,-1和。

7．（1）由1(1)(1)j j jijii i x x a X x x -==---∑知可表示为线性组合，由基定义知其为一组基。

（2）由()01n nii iii i a x b x ===-∑∑及()0(11)1jijjiji xx C x ==-+=-∑得0jj j k k k b C a ==∑。

注：当k<j 时，1j k C =。

8．由12,,,j t αβββ 为的线性组合知存在矩阵A 使得()()1212,,,,,,s t A αααβββ= ，由i α线性无关可知()r A s =故s t ≤，把A 的Hermite 标准形非0行的第一个非0元所在列对应的i β全替代为i α即为所求。

9．易证为子空间； {}n U B Z XA x F =∈为在空间上的核空间，故{}()()()dim dim nU Z XA X F r AB r A r AB ==∈-=-。

习题三1．略2．()()1122 ,, y a b x y x x b c y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故内积定义的（1）（3）显然；而（2）成立 c a b b ⎛⎫⇔⎪⎝⎭为正定矩阵20,0a ac b ⇔>->。

3．（1）（3）显然（2）(,)0f f ≥且等号成立当且仅当(,)0f f =⇔()22002f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭⇔()002f f π⎛⎫== ⎪⎝⎭⇔ cos sin 0cos sin 022a b a b θθππ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩⇔00a b f ==⇔=。

||()||5h t ==。

习题 四1． 设AB 的特征值及其对应的特征向量为,i i X λ，即i i i A B X X λ=，如0i BX =，则0i λ=（注意到只能有一个特征值为0）。

故由i i i BABX BX λ=知BA 与AB 特征值勤全相同，所以它们都相似于()12,,n dig λλλ 。

2．σ对应的矩阵为0 2 22 3 12 1 3T--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦， 即()()123123,,,,,e e e e e e A σ=作基变换()()'''123123,,,,.e e e e e e P=则()()'''1123123,,,,.e e e e e e PAP σ-=故使为对角形的基()1123,,e e e P -即可。

3．V 的一组基为1 00 00 10 1 1 00 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，，分别记为123,,e e e ，则123223332,,e e e e e e e e e σσσ=-=-=-，故()()123123 0 0 0,,,, 1 1 11 1 1e e e e e e σ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=()123,,e e e A ，求出使1PAP -为对角形阵的P ，基取为()1123,,e e e P -4．令11 20 0,2 10 1P P AP -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则，()10 00 01,||0,0 10 5tr A A A P P -⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

5． ()||m n m n E AB E BA λλλ--=-知除0外AB 与BA 的特征值全相同（包括代数重数），而迹为矩阵特征值之和。

6． （1）特征多项式287x x -+为最小多项式，可能角化 （2）()()()||123E A λλλλ-=---为最小多项式，可对角化（3）特征多项式为()()212λλ-+，经验证()()2A E A E -+，故最小多项式为()()12λλ-+，可对角化。

（4）同（3），但()()20A E A E -+≠，故最小多项式为()()212λλ-+，不能对角化。

7．（1） a 0 a 1, 0 a 0 a A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()()()22,A B A B f f x a m x a x a m ==-=-≠-=； （2） a 1 0 0 a 1 0 00 a 0 00 a 0 0,0 0 a 00 0 b 00 0 0 b 0 0 0 b A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()322A B f x a x b x a x b f =--≠--=，()()()()22A B m x a x b x a x b m =--=--=8． 由特征多项式的表达式特和题设有10,0ni i j i i j λλλ=≠==∑∑，故22110n ni i i j i i i j λλλλ==≠⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑∑21n i i λ==∑， 又i λ为实数故i λ均为0。