dz n 1 2i C ( z z0 )
定理表明 f ( z )在z平 面 上 D内 解 析 f ( z )在D内 具有各阶导数 ,即 在D内 解 析 无 穷 次 可 导 .
一个解析函数的导数仍为解析函数。
f (z) 2i ( n ) 用 途 : 可计算积分 dz f ( z0 ) n 1 C (z z ) n! 0
等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等 数学中函数泰勒级数里 (z-z0)n 的系数。
例3 求下列积分的值, C为正向圆周: | z |= r >1.
cos z e 1) d z; 2) 2 dz 5 2 ( z 1) ( z 1) C C
z
解 :1)
cos z 函数 ( z 1) 5
0
此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1
说明:
1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一 点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一， 可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。 推论1（平均值公式）设 f ( z ) 在 | z z0 | R 内解析，
第二讲
§3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数
§3.3 柯西积分公式
（Cauchy integral formula）
分析
设D 单连通, f ( z )在D内解析, z0 D, C是D内围绕z0的一条闭曲线 ,则 f ( z) f ( z ) 一般 在z0不解析. dz 0 C zz z z0 0
在C :| z z0 | R上连续，则
1 2 i f ( z0 ) f ( z Re )d 0 2 0
证明
因 为C : z z0 Re 则
i
1 f (z) f ( z0 ) dz 2i C z z0 i 2 f ( z0 Re ) 1 i Rie d i 2i 0 Re
使得 z C, | f ( z) | M .
z0 C, (0,)
f(z)在 {z || z z0 | } 上解析. 由柯西公式，有| f ' ( z0 ) | M / 令 ，可见 z0 C, f ' ( z0 ) 0 从而f(z)在C上恒等于常数.
1
2
例1 求下列积分的值
sinz (1) dz; z 2 z z 2 z 2 dz. 2 (9 z )(z i )
sinz 解： (1) dz 2i sinz |z 0 0 z 2 z
z 2 z z 9 z ( 2) dz dz 2 i | 2 z i z 2 (9 z 2 )( z i ) z 2 z ( i ) 9 z 5
应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有

C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务




1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
f ( z0 ) f ( z) dz 2 i n 1 C ( z z0 ) n!
第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函 数在 C 内有一个奇点 z0，该奇点在被积函数解 析式的分母。 高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积 分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。
( n)
其中，n=1,2,…
说明:
（1）此不等式称为柯西不等式. （2）在C上解析的函数，我们称它为一个整 函数，例如
sin z , cos z , e z
都是整函数，关于整函数我们有下面重要 的刘维尔定理.
刘维尔定理 定理3.11 有界整函数一定恒等于常数. M (0,), 证明 由f(z)是有界整函数，即存在
(The higher order derivative of analytic function)
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各 高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通 过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在 这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高 阶导数存在了.
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.
在D 上 推论2设 f ( z ) 在有界区域 D内 解 析 ，
连续，则 f z 必在区域 D的边界上达到最大值。
§3.4 解析函数的高阶导数
形式上， 1 对积分公式 f ( z0 ) 2i

C
f (z) dz( z0 D) z z0
两边在积分号下对 z0求 导 得 1 f (z) f ' ( z0 ) dz 2 2i C ( z z0 )
2! f (z) f " ( z0 ) dz 3 2i C ( z z0 ) n! f (z) ( n) f ( z0 ) (n 1,2,) n1 dz 2i C ( z z0 )
1 2 求：（ ）dz z 1 z 3 z 4
解
1 2 ( )dz z 1 z 3 z 4
f ( z ) 1及 2
dz z 1 z 4
2 dz z 3 z 4

2i 1 2i 2 6i
例2
2z 1 求 2 dz C z z C为包含0,1在内的任意简单正向曲线.
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i

f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i

f ( ) d ) C z
在C内的z 1处不解析, 但
cosz 在C内却是处处解析的.
5 cos z 2i i ( 4) dz (cos z ) | . 5 z 1 (5 1)! 12 ( z 1) C
e 2) 2 在z i处不解析.取C1 : z i 1 2 ( z 1) C2 : z i 2C1 , C2不相交且在C的内部
.
是D内任一点，则
1 f ( z0 ) 2i

C
f (z) dz z z0
其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为
柯西积分公式.

C
f ( z) dz 2i f ( z0 ) z z0
第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函 数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析 式的分母。 2i, n 1, 1 dz n n 1. ( z z0 ) 0, z z r
C
C 12
C2
2i e 2 ( 2 1)! ( z i )
zi
2i e 2 ( 2 1)! ( z i )
z
z i


2
(1 i )(e ie )
i
i

2
(1 i ) (cos1 si n1) i 2 si n ( 1
解
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz 2z 1 2z 1 y z 1 z C dz dz C1 C2 z 1 z C
由C积分 公式

2z 1 2z 1 2i 2i z 1 z 0 z z 1
此式称为柯西不等式.
证明 对于任意的 R1 : 0 R1 R, f z 在 z z0 R1上解析，
.
由导数公式，有
|f
( n)
n! f (z) ( z0 ) || dz | n 1 2i C ( z z0 )
n! M M n 1 2R n! n . 2 R R
e e e dz dz dz 2 2 2 2 2 2 C (1 z ) C1 (1 z ) C2 (1 z )
z z z
z

C1
e e 2 2 (z i) (z i) dz dz 2 2 C2 ( z i ) (z i)
z
z
z

C1
C
1
C2 1 x
o
4i
由平均值公式还可以推出解析函数的一个 重要性质，即解析函数的最大模原理。解析函 数的最大模原理，是解析函数的一个非常重要 的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域 内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函 数恒等于常数。
D内解析， 定理3.8(最大模原理) 设 f ( z )在区域
由复合闭路定理得 , 任意包含 z0 在 内 部 的 曲 线C1 C的 内 部
f (z) f (z) C z z0 dz C1 z z0 dz
C D
z0
C1
特别取
C1 { z z z0 ( 0可充分小)}
f ( z )的连 续性 , 在C上的 函数值 f (z) 当 0时, f ( z ) f ( z0 )
课后作业： P 一、 思考题：3
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