学号：****＊**＊＊＊***师范大学学士学位论文题目积分中值定理及其应用学生＆＆&＆指导教师**＊*＊＊副教授年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院***师范大学2013年4月学士学位论文题目积分中值定理及其应用学生＊**＊＊＊指导教师＊***＊*副教授年级2009级专业数学与应用数学专业系别数学系学院数学科学学院*＊＊师范大学2013年4月积分中值定理及其应用摘要：本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述:积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用。
关键词：积分中值定理；推广；应用一、引言随着科技时代的发展，数学也随之大步前进。
其中，微积分的创立,为数学的发展奠定了不可磨灭的基础。
积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位,对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理。
而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理,即在一个区间上的情形。
还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理。
并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学。
我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式:数学中一些定理的证明，数学定理、命题,几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性,估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为:讨论和分析积分中值定理,然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性,将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限,确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、积分中值定理的证明1、定积分中值定理引理:假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则有()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰成立.证明:因为M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值,即()m f x M≤≤，我们对不等式进行积分可得()bb baaamdx f x dx Mdx≤≤⎰⎰⎰，由积分性质可知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰(1）成立,命题得证.定理1（定积分中值定理):如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰成立。
证明:由于0b a ->，将(1）同时除以b a -可得1()ba m f x dx Mb a ≤≤-⎰.此式表明1()ba f x dxb a -⎰介于函数()f x 的最大值M 和最小值m 之间.由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个数相等，即应该有1()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，成立，将上式两端乘以b a -即可得到()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰，命题得证.备注1：很显然,积分中值定理中公式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a b <或a b >都是成立的.2、积分第一中值定理定理2(第一积分中值定理）:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,()g x 在(,)a b 上不变号,并且()g x 在[,]a b 上是可积的,则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),()bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰⎰成立.证明：由于()g x 在[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，将不等式两边同乘以()g x 可知，此时对于任意的[,]x a b ∈都有()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤成立。
对上式在[,]a b 上进行积分，可得()()()()b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰.此时在,m M 之间必存在数值μ,使得m M μ≤≤，即有()()()bbaaf xg x dx g x dxμ=⎰⎰成立.由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的,则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立.此时即可得到()()()()bbaaf xg x dx f g x dxξ=⎰⎰，命题得证.3、积分第二中值定理定理3(积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积,而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰（2）特别地，如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰（3）如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()baaf xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰(4）证明:由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的,由积分性质可知()()f x g x ⋅也是可积的.我们先证明(3)式，即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明。
对于（4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明(2）式.在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b-=<<<<<<=,记1i i i x x x -∆=-，其中iω为()g x 在i x ∆上的幅度，即11[][]sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-,再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下n 等份,并且记11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑⎰，11()()ii nx i x i g x f x dx σ-==∑⎰。
则11()()()()ii nbx ax i f x g x dx f x g x dx-==∑⎰⎰1111()()()[()()]i ii i nnx x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑⎰⎰，因为()f x 在[,]a b 上可积，且区间[,]a b 是有限的，所以()f x 在[,]a b 上有界，此时我们不妨假设()f x L≤。
估计ρ如下：11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dxρ-==-∑⎰11()()()i i nx i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰11()()()ii nx i i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰111ii nnx i i ix i i L dx L x ωω-==≤=∆∑∑⎰由于()g x 可积，所以当max 0i x λ=∆→时，有1ni i i x ω=∆→∑，从而有0lim 0λρ→=，从而可知()()lim()lim lim b af xg x dx λλλσρσρ→→→=+=+⎰11lim lim ()()ii nx i x i g x f x dxλλσ-→→===∑⎰我们记()()bxF x f x dx=⎰，由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，那么函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且有最大值和最小值M 和m ，记为()i m F x M≤≤，很显然11()()()ii x i i x f x dx F x F x --=-⎰，0()()0F x F b ==，从而11()()ii nx i x i g x f x dxσ-==∑⎰[]11()()()ni i i i g x F x F x -==-∑111()()()()nni i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑110121()()()()()()nn i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑11011()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑因为()g x 是非负的，并且在区间(,)a b 上单调上升，即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、1()()0i i g x g x +-≥成立，所以有下式成立()()11111111{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.即有()()mg b Mg b σ≤≤成立.从而可以得到lim ()g b σμ=,其中μ满足m M μ<<.由于函数()F x 连续,则在[,]a b 之间存在一点ξ,使()()bF f x dxξμξ==⎰成立，从而有公式（2-3)成立,即()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰成立，(3）式得证。
对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式（4）的证明过程是类似的，证明略。
对于()g x 是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-，其中ψ为单调上升且()0a ψ≥，此时公式（3)对于()x ψ是成立的，即存在ξ使[][]()()()()()()bbaf xg x g a dx g b g a f x dxξ-=-⎰⎰成立,这就证明了公式（2）()()()()()()b baaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰.对于()g x 是一般单调下降的情形，此时应用公式(4),同样可得到（2）式,此命题得证。