一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案一、填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式x =01x =， 那么1______x =。

5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。

6、1151A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的谱半径＝ 。

7、设2()35, , 0,1,2,... ,k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++=和[]123,,,n n n n f x x x x +++=。

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。

10、为了使计算23123101(1)(1)y x x x =++----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。

填空题答案1、2.3150二、计算题 （共75 分，每题15分）1．设3201219(), , 1, 44f x x x x x ====（1）试求 ()f x 在 19,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足 ''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===()x H 以升幂形式给出。

（2）写出余项 ()()()R x f x H x =-的表达式计算题1.答案2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？计算题2.答案3．试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案4．推导常微分方程的初值问题00'(,)()y f x yy x y=⎧⎨=⎩的数值解公式：'''1111(4)3n n n n nhy y y y y+-+-=+++（提示：利用Simpson求积公式。

）计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程()y f x=’在区间[]11,n nx x-+上积分，得1111()()(,())nnxn nxy x y x f x y x dx+-+-=+⎰，记步长为h,5． 利用矩阵的LU 分解法解方程 组1231231232314252183520x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩计算题5.答案5、解：1123211435124A LU ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦三、证明题 （5分）1．设，证明解的Newton 迭代公式是线性收敛的。

证明题答案一、填空题（20分）(1).设*2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。

(2). 对1)(3++=x x x f , 差商=]3,2,1,0[f ( )。

(3). 设(2,3,7)TX =-, 则||||X ∞= 。

(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和()nn k k C ==∑ 。

填空题答案（1）3 （2）1 （3）7 （4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式2()sin 0.34L x 计算的值。

插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

计算题1.答案2).（15分）用二分法求方程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限210ε-=。

计算题2.答案2) 12345661.25 1.375 1.31251.34375 1.328125 1.3203125N x x x x x x =======3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T)0,0,0()0(=x ，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。

计算题3.答案3）迭代公式4).（15分）求系数123,,A A A 和使求积公式1123111()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤⎰对于次数的一切多项式都精确成立。

计算题4.答案5). (10分)对方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=++841025410151023321321321x x x x x x x x x试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由计算题5.答案三、简答题1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么? 2)（5分）先叙述Gauss 求积公式, 再阐述为什么要引入它。

简答题答案1）凭你的理解去叙述。

2）参看书本99页。

一、填空题（20分）1. 若a =2.42315是2.42247的近似值，则a 有( )位有效数字.2. )(,),(),(10x l x l x l n 是以n ,,1,0 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则=∑=ni i x il 0)(( ).3. 设f (x )可微，则求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ).4. 迭代公式f BX X k k +=+)()1(收敛的充要条件是 。

5. 解线性方程组A x =b (其中A 非奇异，b 不为0) 的迭代格式f x x+=+)()1(k k B 中的B 称为( ).给定方程组⎩⎨⎧-=-=-45892121x x x x ，解此方程组的雅可比迭代格式为()。

填空题答案二、判断题（共10分）1. 若0)()(<b f a f ，则0)(=x f 在),(b a 内一定有根。

( )2. 区间[a,b ]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。

( )3. 若方阵A 的谱半径1)(<A ρ，则解方程组A x =b 的Jacobi 迭代法收敛。

( )4. 若f (x )与g (x ) 都是n 次多项式，且在n +1个互异点n i i x 0}{=上)()(i i x g x f =，则)()(x g x f ≡。

( )5. 用2211xx ++近似表示x e 产生舍入误差。