华北水利水电大学课题名称：积分换元法解题技巧研究专业：岩土工程班级：小组成员：联系方式：2013年6月09日摘要：换元法是积分应用中的一种重要解题方法，也是一种重要的数学思想。

论文主要讨论了第一换元法、第二类换元法、二重积分换元法以及三重积分换元法的解题方式与技巧，同时也介绍了解题中应该注意的事项，以便能够准确而高效地运用积分换元法的解题技巧。

关键词：积分换元法、解题技巧、应用举例英文题目Reasearch on Problem Solving Skills Change Element Method IntegrationAbstract:Change element method is an important method of solving the integral application ,also is a kind of important mathematics thought .This paper mainly discuss the first element method ,second kinds of method, the double integral method and the method of three integral problem-solving methods and techniques, and items that should be noticed in problem solving is also introduced, in order to problem-solving skills to accurately and efficiently using integral method.Key words:for example, integral method ,technique,application1. 引言积分的换元法是积分中的重要解题技巧，省时且省力。

凑微分法是将新的变量设为原来的积分变量的函数，而第二类换元法则是讲原来对的积分变量设为新的变量的函数。

二重、三重积分换元法是计算二重、三重积分的一个重点，同时也是一个难点。

论文介绍了二重、三重积分换元法的定理，极坐标代换及其应用举例。

根据积分的特点，选择恰当的解题方法即可。

2. 研究问题及成果2.1第一换元法与第二换元法的（1）第一类换元法（凑微法）:是对应于链式求导法则的积分方法 令 F ’(u)=f(u)，u=g(x) 由（2）第二类换元法：x=g(u)是连续函数的导函数 g ’(u)0 则※常见的几种配元形式：(1) (2)(3)(4) (5) （3）两者的联系与区别两种换元法本质上采用的是同一个公式：=dx x g F )]([d )(')(')()(x g u F dxx dg du u dF =•⎰⎰+=+==C x g F C u F du u f x d x g x g f )]([)()()()(')]([≠C )]([)()(')([)(f 1+=+==⎰⎰-x g F C u F du u g u g f dx x ⎰⎰++=+)()(1)(f b ax d b ax f a dx b ax n n n n dx x f n dx x x f )(1)(1⎰⎰=-⎰n n n n dx xx f n dx x x f 1)(11)(⎰=⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )sin (⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos两种换元法的不同：第一类换元法是从左向右进行变换，他的关键部分在于准确找到凑微分的对象。

第二类换元法反向使用公式，此处关键的步骤在于“置身事外”。

但是第二类换元法本身的应用不是拘泥于函数本身的化简，而是从“旁观者”的角度来理解，将被积函数中比较复杂而不容易化简的部分，采用各种方法将这部分变得简单。

2.2第一换元法与第二换元法的应用举例 （1）第一类换元法应用举例例1. (u=x+2)=例2. (u=sinx) = =e 例3.(u=lnx)= = = = 例4. (u=e )⎰⎰=du u f x g u dx x g x g f )()()(')]([dx x ⎰+992）（)2()2(99++⎰x d x c ++=1002x 100）（⎰xdx e x cos sin ⎰x d e x sin sin c x +sin ⎰dx x xln ln ⎰)(ln ln ln x xd ⎰udu ln c u u u +-ln c x x x +-ln )ln(ln ln ⎰dx e e x x cos x= = 例5.(u=)=2=2[]22（2）第二类换元法应用举例 ①.三角代换： 例6. (a>0) 解：令x=asint (-),则有 dx=acostdt==== ②.根式代换： 例7.解：令x=t 原式==6=6⎰x x de e cos c e x +sin ⎰dx xxtan arc x ⎰x d x arctan ⎰-u ud u u arctan arctan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎰du u u u u 21arctan =c x x arc x +⎢⎣⎡⎥⎦⎤+-)1ln(21dx x a ⎰-2222ππ≤≤t dxx a ⎰-22dtt a⎰22cos dt t a ⎰+)2cos 1(22c t a t a t a ++)]cos )(sin ([212c x a x a x a +-+2222arcsin 2dx x x x x⎰+)(336dtt t t t t ⎰+52362)(dtt t ⎰+)1(1C x x C t t t t ++=++-=+-⎰1ln 6)1ln (ln 6)11166（③.倒代换（分母中积分变量次数高于分数的次数）： 例8.解：令x=(-1<t<1,dx=- 原式= 2.3第二类换元法解题技巧： （1） 奇次进，平方倍角化例9. ==例10． =（2） 乘积化和差例11.==（3） 假分式用除法 .当被积函数是假分式时，应先进行除法再积分。

例12. dx xx ⎰-241t1dt t 21C x C t dt t dt t t t +=+=--=-•-⎰⎰1arccos arccos 11)1(1112224xdx x x xdx x cos cos sin cos sin 4252⎰⎰=x d x x sin )sin 1(sin 222-⎰C x x x ++-753sin 71sin 52sin 31⎰⎰⎰⎰+=+=）x xd dx dx x xdx 2(2cos 412122cos 1cos 2C x x ++2sin 412⎰⎰++-=dx x x xdxdx x ])23cos()23[cos(212cos 3cos 21⎰+dx x x )5cos cos （C x x ++5sin 101sin 21⎰.Q P )(,P(x ))()(的次数）的次数不低于的多项式，是型（其中x x Q dx x Q x P ）x Q x ()(P dx x x x x dx x x x x )1533(153222234⎰⎰++-+=+-++==（4） 三项式配方法.例13. =（5） 裂项（分母乘积）例14. 例15. =-2.4二重积分的换元法定理：设f(x,y)在xoy 平面上的闭区域D 上连续，如果变换T ： x=x(u,v), y=y(u,v)将uov 平面上的闭区域D ’变为xoy 平面上的闭区域D ，且满足： （1） x =x(u,v), y=y(u,v)在D ’上具有一阶连续偏导数； （2） 在D ’上雅可比行列式J(u,v)=; （3） 变换T 是D ’与D 之间的一个一一对应；⎰⎰+-++-+dx x x d x x x 2222211)1(1123233C x x x x +-+-+arctan 5)1ln(23233222.____)(12先配方再积分型dx c bx ax ⎰++)1(2)1(132122+++=++⎰⎰x d x dx x x C xx ++)1(arctan 21C x x dx xx dx x x +-=+=⎰⎰cot tan )sin 1cos 1(sin cos 12222dx x x dx x x dx x x )5121(31)5)(2(110712----=--=+⎰⎰⎰C x x +-+-5ln 312ln 310),(),(≠∂∂v u y x则有，雅可比行列式，是以n 个n 元函数的偏导数为元素的行列式，常记为使用变换公式的注意事项：（1） 换元后要求定限简单，积分容易；（2） 选择什么样的换元公式取决于积分区域的形状和被积函数的形式；（3） 如果雅可比式J(u,v)只在D ’内个别点上或者一条曲线上为零，而在其他点上不为零，则上述换元公式仍成立；（4） 使换元后的积分区域D ’不分块，换元后的被积函数易于积出。

对极坐标变换公式的解释：J例16：计算D ：x=0,y=0,x+y=2所围成的平面闭区域。

解：令u=y-x,v=y+x则x=,y=, x=0u=vdudv v u J v u y v u x f dxdy y x f DD ⎰⎰⎰⎰=').()],(),,([),(),,(),,(2121n n x x x u u u ∂∂⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ()ρθρθθρθθρθρθρθρ=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=cos sin sin cos ),(),(y yxxy x ，⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(,eDdxdy xy x y ⎰⎰+-2u -v 2uv +→y=0u=-v x+y=-2v=2J 故= 例17：计算，其中D 为椭圆所围成的闭区域。

解：作广义极坐标变换D D ’={（0} J===abJ 在D ’内仅当=0时为零，故换元公式仍成立。

=ab =例18：计算,D:x+y=1,x=0,y=0. 解： 令{ J=D ’:x+y=1 1 X=0u-v=0 Y=0v=0→→()21-21212121-),(),(v ,==∂∂=v u y x u dxdy exy xy ⎰⎰+-D⎰⎰De=dudv vu 21-()1201202121----=-=⎰⎰⎰e e vdv e e du e dv v v vu⎰⎰--Ddxdy by a x 2222112222=+b y a x ⎩⎨⎧==θρθρsin cos b y a x −→−),θρπθρ20,1≤≤≤≤),(),θρ∂∂y x （θρθθρθcos sin sin cos b b a a -ρρ⎰⎰-D2222x -1dxdy b y a ⎰⎰-'21D ρρθρd ab π32dD e yx y y x 2)(D+⎰⎰+⎩⎨⎧=-=⇒=+=vy vu x v x u y y1101-1,(),(==∂∂）v u y x =⇒u ⇒⇒原式=例19：计算二重积分,其中D 是双曲线xy=1和xy=2，直线y=x 和y=4x 所围成的第一象限内的区域。