43
高等数学
●
戴本忠
17
例9 解
计算
1
1
1
2 x 2 x cos x dx . 2 1 1 x
1 2 x2 x cos x 原式 dx dx 2 2 1 1 1 x 1 1 1 x 偶函数 奇函数 2 2 1 x (1 1 x ) 1 x2 4 dx 4 dx 2 2 0 0 1 (1 x ) 1 1 x
x a, t 0 x a T,t T
a T

a
f ( x)dx f (a t )dt f (a t )d (a t )
0 0
T
T

43
T
0
f (u )du f ( x)dx
0
T
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●
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14
例6
xe x , x 0, 设 f ( x) 1 , 1 x 0, 1 cos x
0
1 2
令 u arcsin x , dv dx , 则
dx du , v x, 2 1 x
0 arcsin xdx x arcsin x 0 0
1 2
1 2
1 2
xdx 1 x2
1 π 1 1 1 2 2 d ( 1 x ) 2 2 6 2 0 1 x
b b a b
分部积分公式
推导 : (uv ) uv uv ,
a
b
b ( uv ) dx uv a , b
uv
所以
43
b a

a uvdx a uvdx,
b a b
b
a udv uv a vdu.
b
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●
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23
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求
第三节 定积分的换元法和 分部积分法
不定积分
第五章
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
43
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●
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1
学习指导
1.教学目的：掌握运用换元公式求解定积分问题的方法；掌 握用分部积分法公式计算定积分的方法。 2.基本练习： （1） 用换元法计算定积分； （2） 被积函数具有奇偶性或周期性的定积分计算； （3） 利用换元法和被积函数的奇偶性及周期性来证明某些 定积分公式。 （4） 用分部积分法计算定积分。 3.注意事项： （1）换元法的目的是将复杂的或者抽象的被积函数变量代 换为常见的积分形式，所以基本的积分公式一定要熟记， 要掌握换元法所遵循的几个原则以正确地应用换元法。 （2）运用分部积分公式的关键是正确地选取u(x) 和v(x) 。熟 练掌握运用分部积分法的几种常用类型可帮助对u(x) ，v(x) 的选取。

43
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●
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4
证
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 则
a f ( x )dx F (b) F (a ),
考察函数 ( t ) F [ ( t )],
b
x (t )
dF dx 因为 ( t ) f ( x ) ( t ) f [ ( t )] ( t ), dx d t
π 12
43
1 x
2
1 2
0ห้องสมุดไป่ตู้
π 3 1. 12 2
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25
计算
43
高等数学
●
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20
定积分换元法基本原则
与不定积分中消除根式规律一致。
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21
定积分的分部积分法
定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部 积分公式的用法类似。
43
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●
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22
设函数u( x ), v( x )在区间[a, b]上具有连续导数, 则
a udv uv a vdu.
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●
43
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11
例5.
(1) 若 (2) 若 证:
a 0
偶倍奇零
则
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
0
a
则
a a
a
a
f ( x ) dx 0
a
a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx
f (t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx
2
1 cos t (1 cos 2t ) 2
2
y
y a x
2
2
a 2
2

π 2 0
(1 cos 2t )dt
π 2 0
43
o
a x
a 1 πa 2 [t sin 2t ] . 2 2 4
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●
2
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8
例2 解
计算 cos 5 x sin xdx .
0
π 2
差，另一项
a vdu 仍按定积分继续计算.
b
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u 和 v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求
定积分，应观察积分区间是否关于原点对称，
被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊
定积分公式简化定积分的运算.
43
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●
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24
例1 解
计算 arcsin xdx .
令 t cos x ,
dt sin xdx,
π x t 0, x 0 t 1, 2
所以
0
π 2
cos x sin xdx t 5dt
5
0
1
凑微分如何解？
t 6
6 1
0
1 . 6
提示： 换元一定要换积分限 不换元积分限不变
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戴本忠
高等数学
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7
例1 解
计算
a
0
a 2 x 2 dx (a 0).
设 x a sin t , 则 dx a cos tdt , 且
π 当 x 0 时, t 0; 当 x a 时, t . 2
于是
a
0
a x dx a
2 2
π 2 2 0

cos tdt
3 2
π 2
3 2
sin x
5 2
π 2 0
π π 2
3 2
d sin x sin x d sin x
2 sin x 5
5 π 2
π 2
π π 2
3 2
2 sin x 5
43
0
4 . 5
高等数学
●
注意积 分区间 内函数 符号的 变化！ 戴本忠
10
例4
a
原式

π 2 0
a cos t a sin t a (1 sin t )
2 2
dt


π 2 0
1 cos t sin t cos t dt 1 dt 2 sin t cos t sin t cos t
π 2 0
π 2 0
1 π 1 π ln sin t cos t . 2 2 2 4
2
计算 f ( x 2)dx .
1
4
解
设 x 2 t , 则 dx dt , 且
1 cos t (1 cos 2t ) 2
2
当 x 1 时, t 1; 当 x 4, t 2.
于是
4
1
2 dt t 2 te d t f ( x 2)dx f ( t )dt 1 1 1 cos t 0
2
0
t 0 1 t 2 2 1 1 4 1 [tan ]1 [ e ]0 tan e . 2 2 2 2 2
43
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例7
计算 原式
3 e4
e
dx . x ln x(1 ln x ) d(ln x ) ln x(1 ln x ) d(ln x ) 2 ln x (1 ln x )
2
0

2010 1 tan x 2 dx dx 2010 2010 0 1 tan 1 1 / tan x x

2010 (tan x 1 ) 1 2 dx I 2010 0 2 1 tan x I . 4

43
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●
戴本忠
19
定积分换元法小结
所以 ( t ) 是 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数,
从而
43


f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),
高等数学 戴本忠
5
●
所以 ( ) ( ) F [ ( )] F [ ( )]
由于 ( ) a , ( ) b,
9
例3 解
计算
π
0
sin3 x sin5 xdx .
3 5
因为 f ( x ) sin x sin x cos x sin x ,