§5-5 电流系统的磁能与磁场的能量
一、N 个载流线圈系统的磁能
1、元过程：
忽略所有线圈的电阻，各线圈0=i I 时记为零能态，各线圈自感和彼此间的互感分别为ij i M L 和。
当第i 个线圈的电流由0渐增到i I 时，感应电动势为
∑≠--=i k k ik i i i dt
dI M dt dI L ε (1) 电源反抗i ε作功
∑≠+=-='i
k k i ik i i i i i i dI I M dI I L dt I A d ε (2)
对N 个线圈，电源作总元功
∑∑≠+='N
i k k i k i ik N i i i i dI I M dI I L A d , （3）
)(.k i ik i k ki k i ik ki ik I I d M dI I M dI I M M M =+∴=
(),N N
i i i ik i k i i k k i dA L I dI M d I I <'=+∑∑ （4）
2、系统静磁能
定义电源所作总功为系统的静磁能，则
∑∑≠+='=N i
k k i k i ik N i i i m I I M I L A W ,22121 （5） 其中首项是N 个线圈的自感磁能，次项是互感磁能。
讨论：
（1）上式中指标i 、k 对称，可见W m 与各线圈电流的建立过程无关。
（2）若令i ii L M =，则形式更简洁：
∑=N
k
i k i ik m I I M W ,21 （6） （3）设k ik k ki m I M I M ==Φ表示第k 个线圈电流的磁场通过第i 个线圈的磁通，
再令
k N
k ik N k ki i I M ∑∑=Φ=Φ表示所有线圈通过第i 个线圈的总磁通，则
∑Φ=N
i
i i m I W 21 （7）
二、载流线圈在外磁场中的磁能
1、二载流线圈情形：
总磁能：
21122222112
121I I M I L I L W m ++= （8） 互能：
2122112I I I M W m Φ== （9）
（9）式的第三项，已将线圈1看作外磁场源。
2、定义：载流线圈在外磁场中的磁能，定义为该线圈与产生外磁场的线圈之间的互能。
3、均匀外磁场中载流线圈和非均匀外磁场中的小载流线圈的磁能：
2m W I =⋅=⋅B S m B （10）
（与电偶极子在外电场中的静电能W =-⋅p E 相比，差一负号，为什么？）
4、N 个载流线圈在外磁场中的磁能：
()k
m k k k S W I =⋅∑⎰⎰B r dS （11）
当外场均匀时，上式简化为：
m k k W I ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
∑B S m B (12) 其中m 是N 个线圈的总磁矩。
三、磁场的能量与能量密度
1、螺绕环磁能：
设螺绕环的横截面为S ，体积为V ，环内磁介质的磁导率为μ，线圈匝数为N ，单位长度匝数为n ，则环内nI B 0μμ=，
VI n nI NS m 200μμμμ==Φ，所以自感系数V n L 20μμ=。
螺绕环的磁能)(2121212202nI H VBH V I n LI W m ====μμ
磁能密度
12
m w BH = (13) 2、线性无损耗介质的一般情形：
⎰⎰⎰=V
m m dV w W (14)
200111222
m w BH H μμ=
=+⋅H M (15) 其中首项是宏观静磁能密度，次项是磁化能密度。
四、非线性介质的磁滞损耗
1、螺绕环体系的元功分析
设在dt 时间内环内磁场从B 变为B+dB ，则穿过线圈的总磁通d NSdB ψ=，电源克服电动势所作元功dA Idt Id NSIdB VHdB ε=-=ψ==，单位体积元功
HdB A d =' (16)
2、一般磁介质的元功：
dA '=⋅H dB (17) 又0()μ=B H +M ，所以
2002dA d H μμ⎛⎫'=+⋅ ⎪⎝⎭
H dM （18） 可见，类似于电介质情形，在一般磁介质中，电源所作功一部分用来增加宏观静磁能，一部分对介质作磁化功。
3、磁化功与磁化能的关系
（1）线性无损耗介质：
ji ij i j ij i H M χχχ==∑=,3
1
所以
12d ⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
H dM M dH M H （19） 即磁化功完全转化为磁化能。
（2）非线性磁介质，以铁磁铁为例：当磁化状态沿磁滞回线绕行一周时，电源对单位体积的铁磁体作磁化功
⎰⎰='='HdM A d A 0μ （20）
恰为磁滞回线的面积。
由于绕行一周后磁化状态恢复到从前不变，磁化功完全转化为热量，称为磁滞损耗。
五、利用磁能求磁力
在有些情况下，利用安培公式求磁力不方便，可以考虑利用磁能求磁力。
1、电流不变情形
（1）考察N 个载流线圈组成的系统，仿照由静电能求静电力的方法，假设某线圈有虚位移δr ，则磁力作功
x y z A F x F y F z δδδδδ=⋅=++F r （21）
若在虚过程中各线圈电流不变，外部电源需反抗感应电动势作功A δ'。
磁力作功使系统磁能减少，电源作功使系统磁能增加，系统净磁能变化为
A A W m δδδ-'= （22）
（2）A 'δ与m W δ关系。
设虚过程使第i 个线圈的磁能变化i Φδ，则
i i i i I dt I A Φ=-='δεδ
电源所作总功
∑∑Φ='='i i I A A δδ （23） 而由∑Φ=i i m I W 2
1，可得 A A I W i i m δδδ='=Φ=∑2
121 （24） 即当所有载流线圈电流不变时，电源所作功恰为系统磁能变化的2倍，而磁力所作功等于系统磁能的增加。
（3）磁力
,m m x W W F x
∂=∇=∂F （25）
而磁力矩
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=θθm W L （26）
2、进一步讨论：
（1）对线性无损耗磁介质，上述诸式也成立，只是m W 中还包括介质磁化能；
（2）在研究载流导线在外磁场中所受磁力和磁力矩时，不必计入二者自能，只需考虑导线在外磁场中的静磁能；
（3）外磁场中载流线圈上的磁力和磁力矩：
线圈的静磁能
cos m W mB θ=⋅=m B （27）
电流不变即线圈的磁矩不变，所以
()()()()m =∇⋅=⋅∇+⨯∇⨯=⋅∇F m B m B m B m B （28）
（注意：0∇⨯=B ，）而
sin m m
W L mB θθθ∂⎛⎫==-=⨯ ⎪∂⎝⎭θθe e m B （29） （注意：θe 为由B 到m 的右手螺旋方向，恰与⨯m B 方向相反。
）
3、磁通量不变情形
若产生虚位移时各线圈i Φ不变，则在虚过程中无感应电动势，电源不作功，A W m δδ-=Φ)(，所以磁力和磁力矩分别为
()m W Φ=-∇F （30）
Φ
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=θθm W L （31）
六、例子
例：具有恒定的高磁导率μ的马蹄形磁介质，与一磁导率相同的条形磁介质组成一磁路，它们的横截面为矩形，面积为A ，长度为l 。
马蹄形磁介质上绕有N 匝导线，通以恒定电流I 。
求马蹄形与条形磁介质之间的吸力。
[解]设马蹄形与条形磁介质有小间隙x ，间隙和磁介质内的磁场强度分别为g H 和m H ，由磁路定理，NI x H l H g m =+2，由B 连续，得g m H H 00μμμ=，即
m g H H μ=。
解得
,2,20x l NI
B x l NI
H m m μμμμ+=+=
x l I
AN A NB N m μμμ22
0+==Φ=ψ
()x l I AN I W m μμμ22212
20+=ψ=
22
2020l I AN x W F x m x μμ-
=∂∂==（吸引力）。