同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
把B1列划去。在剩下的3×3矩阵中再找最小运价，同
理可运费得单价其销他地 的基B本1 可行解B产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨）
3
6
5
6
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13
销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1
3
31
7
3 0
B2
11 9
64
6 0
B3
43 12
10
ijcijuivj 0
非基变量 x的ij 检验数就可以用公式
求出。
ijcijui vj
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销地 产地
A1 A2 A3
销量
销地 产地
A1 A2 A3
vj
B1
B2
3
11
3
1
9
76
4
3
6
B3
B4
4
33
10
1
2
8
10 3
5
5
6
产量 7 4 9
B1
13 31 10 7
2
B2
2 11 19 64
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§2 运输问题的表上作业法
从第一节的运输问题的数学模型可知，运输问题实际上 也属于线性规划，但由于运输问题的特殊性（变量个数较多， 系数矩阵的特点），如果用单纯形表格方法迭代，计算量很 大。今天介绍的 “表上作业法”，是针对运输问题的特殊求解 方法，实质还是单纯形法，但减少了计算量。
销地 运费单价
B1
产地
A1
3 x11
A2
1 x21
A3
7 x31
销量（吨）
3
B2
11 x12 9 x22 4 x32
6
B3
3 x13 2 x23 10 x33
5
B4
10 x14 8 x24 5 x34
6
产量 （吨）
7 4 9
于是可建立如下的数学模型：
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4
目标函数： MinZ3x1111x123x1310x14
时，称其为产销平衡的运输问题，
否则产销不平衡。
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7
说明：从上述模型可以看出：
（1）这是一个线性规划的模型； （2）变量有m×n个； （3）约束条件有 m+n 个； （4）系数矩阵非常稀疏；系数矩阵的秩一般为（m+n-1),
而非m+n 。
若直接用单纯形法求解，显然单纯形表比较庞大，于是在 单纯形法的基础上创建了表上作业法求解运输问题这一特 殊的线性规划问题
4、重复第二、第三步，直至得到最优解。
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10
一、确定初始基本可行解：
对于有m个产地n个销地的产销平衡问题，有m个关于产量 的约束方程和n个关于销量的约束方程。表面上，共有m+n个 约束方程。
但由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约束方 程，所以运输问题实际上有m+n-1个基变量。在m×n的产销 平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量的值即为 基变量的值。
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11
销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨）
3
6
5
6
那么在该例中，应有 3+4-1=6个基变量。
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12
1.最小元素法
最小元素法的思想是就近供应，即对单位运价最小 的变量分配运输量。
在表上找到单位运价最小的x21，并使x21取尽可能大 的并值，即x21=3,把A1的产量改为1，B1的销量改为0，
销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨）
3
6
5
6
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16
销地 产地
A1
A2
A3
2 2 2
B1
3
31 76
5
B2
B3
B4
11
9
4
1 1 1 1
53
21
10
3 3 2 2
2 10 0 0 0 7
8 1 116
3 5 12
20
，运x23费增1 加2元； ，运费x减21 少11元
调整后，总运费增加：3-3+2-1=1元。
说明如果让 x11为基变量，运费就会增加，其增加值1作为
检验数，
的x11
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20
闭回路法计算检验数：就是对于代表非基变量的空格
（其调运量为零），把它的调运量调整为1，由于产销平衡的 要求,必须对这个空格的闭回路中的各顶点的调运量加上或减 少1。最后计算出由这些变化给整个运输方案的总运输费带来 的变化。以这个变化的数值，作为各空格（非基变量）的检验 数。
3、 从所有负检验数中选择最小者对应空格作为进基变量，
从此点出发作闭回路，确定调整量 ，奇点处增加 ，偶
点处减少 。
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30
例：用表上作业法，求解下面的 运输问题 ：
销地 产地
1 2 3 销量
甲
3 2 4 3
乙
7 4 3 3
丙
6 3 8 2
丁
4 2 5 2
产量
5 2 3
解:用最小元素法确定初始基可行解，如下表所示：
其中 P ij(0 ,.1 .,0 ....1 .,0 ..,.0 ) .T
第i个分量
第m+j个分 量
又因为基变量的检验数为0，于是由（m+n-1)个基
变 量的检验数 cijui vj 0
可解出 (u1,..u.,m,v1，,.进.v.n而)计算其他非基变量的检
验数。
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三、改进运输方案的办法——闭回路调整法
5 4 0
B4
产量
3
7
10
30
4 10
8
3
9
5
30
6
20
3
0
20
表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应 的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。
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销地
甲
乙
丙
丁
产量
产地
1
3
7
6
4 5 （0）
3
0
2
0
2
2
4
3
2 2 (-2）
2
3
4
3
8
5 3 （-4）
3
销量 3 （3） 3 （7） 2 （6） 2 （4）
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
销量（吨）
3
4
10
5
9
6
5
6
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3
解：从表中可知：总产量 = 总销量。这是一个产销平衡的
运输问题。假设 表x i示j 从产地 运往i销地 的产j
品数量， i1 ,2 ,3 ; 建j 立1 ,2 如,3 下,4 表. 格：
因为任意非基向量均可表示为基向量的唯一线性组 合，因此对于任意空格都能够找到、并且只能找到 唯一的一条闭回路。
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销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1
B2
3
11
3
1
9
76
4
3
6
B3
B4
4
33
10
1
2
8
10 3
5
5
6
产量 7 4 9
销地
产地
B1
A1
（+）1 3
A2
（-） 3 1
A3
76
销量
3
B2
11 9 4
6
B3
B4
4 （-）3 3
10
1 （+）2
8
10 3
5
5
6
产量 7 4 9
销地
产地
B1