正切函数的性质与图像
【知识梳理】
1．正切函数的性质
函数 y ＝tan x
定义域 ⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫
x ≠k π＋π2，k ∈Z
函数 y ＝tan x 值域 (－∞，＋∞)
周期 T ＝π 奇偶性 奇函数
单调性
在每个开区间⎝
⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π
2(k ∈Z )上都是增函数 2．(1)正切函数的图像：
(2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征：
正切曲线是被相互平行的直线x ＝π
2
＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．
【常考题型】
题型一、正切函数的定义域、值域问题
【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4；(2)y ＝3－tan x .
[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π
2(k ∈Z )得，
x ≠k π＋π
4
，k ∈Z ，
所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π
4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.
结合y ＝tan x 的图像可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π
2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π
3，
所以函数y ＝
3－tan x 的定义域为
⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭⎬⎫
k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．
【类题通法】
求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π
2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解
形如tan x >a 的不等式的步骤：
【对点训练】 求函数y ＝
1
1＋tan x
的定义域．
解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π
2，k ∈Z .
因此，函数y ＝
1
1＋tan x 的定义域为
⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫
x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .
题型二、正切函数的单调性及应用
【例2】 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫
12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π
5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π
2(k ∈Z )得，
2k π－π2<x <2k π＋3π
2
，k ∈Z ，
所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝
⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π
2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π
2
，
而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π
2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π
5，
即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 【类题通法】
1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π
2
，求得x 的范围即可．
(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【对点训练】
1．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
解：因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．
又因为π2<2<π，所以－π
2<2－π<0.
因为π2<3<π，所以－π
2<3－π<0.
显然－π2<2－π<3－π<1<π2，
又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π
2内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.
2．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π
4－2x 的单调区间． 解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π
2＋k π得，
－π8＋k 2π<x <3π8＋k
2
π(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为
⎝⎛⎭⎫－π8＋k 2
π，3π8＋k 2π(k ∈Z )．
题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
【例3】 (1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2
. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪
x ≠k π＋π
2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．
【类题通法】
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π
|ω|，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．
【对点训练】
关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫π
2－φ，0对称；③f (x )的图像关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
解析：①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图像，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x ＝k π
2－φ，分别令k ＝1,2知②、③正确，④显然正确．
答案：①
【练习反馈】
1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π
2，k ∈Z 的单调性为( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数
C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π
2＋k π(k ∈Z )上为增函数 D ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π
2＋2k π(k ∈Z )上为增函数 解析：选C 由正切函数的图像可知选项C 正确． 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦
⎤－π4，π
4 B.⎣
⎡⎦
⎤
－
22，
22 C ．[－tan 1，tan 1]
D ．以上均不对
解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.
即－tan 1≤tan x ≤tan 1.
3．函数y ＝5tan ⎝⎛⎭⎫－x
2的最小正周期是________． 解析：T ＝
π
⎪⎪⎪
⎪－12＝2π.
答案：2π
4．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π
6
的值域为________．
解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π
2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．
答案：(－3， 3 ]
5．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫
12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π
2＋k π，k ∈Z ，
得x ≠4π
3
＋2k π，k ∈Z ，
所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫
12x －π6的定义域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≠4π
3＋2k π，k ∈Z .
T ＝π
1
2＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π
2＋k π，k ∈Z ，得
－2π3＋2k π<x <4π
3
＋2k π，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为
⎝⎛⎭
⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．。