A
在一个周期内
t 1 2dt 2 1 1 p( x) lim lim 2 2 x 0 x T T d x T T A x 1 A2 x 2
2．概率分布函数F(x)
概率分布函数是信号幅值小于等于某 一值x的概率。
F ( x) Px(t ) x
xd (n) x(Mn), M 为正整数
信号特征的提取方法
信号分析与处理中的常用数学变换
一、付里叶变换 二、拉普拉斯变换 三、Z变换 四、希尔伯特变换
付里叶变换：从时域到频域的变换或逆变换 频谱分析工具
1.付里叶级数
满足狄利赫利(Dirichlet)条件的周期函数在[－ T/2， T/2]可展开成付里叶级数：
x(n) x(n) x(n 1)

5、反褶（转置，倒置） 序列x(n)的反褶是指用-n代换x(n) 中的独立变量n， 反褶的图形表示就是以n=0的纵轴为对称轴将 x ( n) 序列 加以反褶（折叠）。

6、累加 将序列 x(n)累加所得到的累加序列y (n)定义为
n n 1
时域信号的 离散过程
连续时间信号x(t)在[0，T]上经过A／D变 换后，得到长度为N的时间序列x(n)，其中 N＝T/Δ t ，Δ t＝1/fs， fs为采样频率，应满 足采样定理，即fs ＞2 fmax ，fmax为欲分析的 信号最高频率，则可将付里叶变换式
转化为
X ( f ) x(t ) e
第四章 信号特征提取——信号—序列 信号特征的频域提取方法
离散时间信号—序列


离散时间信号（离散信号） ：如果信号只在 一系列离散的时间点给出函数值，而在其它时 间是没有定义的。 离散信号也可以进一步分为幅度连续的和幅度 离散的，前者称为抽样信号，后者称为数字信 号。
序列的表示方法

（1） {x(n)} n 式中x(n) 表示序列的第n个数据，符号{}表示集 合。 （2） x(n) {..., 0,1, 2,3, 4,3, 21, 0,...} n
n0

（3）当有闭式表达式时，则又可以用公式表 示。
n 4 0 4 n 3 n 1 x ( n) 0n3 4 n 4n 0
一、统计特征参量分析
1.概率密度函数p(x) 概率密度函数p(x) 定义为信号幅值为x的概率，
P ( x x(t ) x x) p ( x) lim x 0 x 信号幅值落在指定 Tx 1 范围内的时间和 lim lim x 0 x T T 样本长度
4.离散付立叶变换
若在计算机上实现这一运算，则必须做到： (1) 把连续信号(包括时域、频域)改造为离散数据； (2) 把计算范围收缩到一个有限区间； (3) 实现正、逆付立叶变换运算。 在这种条件下所构成的变换对称为离散付立叶变 换对。其特点是，在时域和频域中都只取有限个离散 数据，这些数据分别构成周期性的离散时间函数和频 率函数。
式中
2 T /2 bn x(t ) sin n tdt T T / 2
2 2 An an bn
n arctan( bn / an )
a0 a0 x(t ) (an cosn t bn sin n t ) An sin(n t n ) 2 n1 2 n1
X (k f ) x(nt )e
n 0
N 1
j 2 k f nt
t
2.拉普拉斯（Laplace)变换
除了满足狄利赫利条件外,还要在( , )区间上满足绝 对可积条件的函数才可以作傅傅立叶变换。 但绝对可积的条件是比较强的，许多函数即使是很简单的 函数(如单位函数、正弦函数、线性函数等)都不满足这个 条件。 其次可以进行傅立叶变换的函数必须在整个数轴上有意义， 但在实际应用中，许多以时间t作自变量的函数往往在 t0 下无意义或者不需要考虑。像这样的函数都不能进行傅立 叶变换。 由此可见，傅立叶变换的应用范围受到相当大的限制。工 程上实测的信号往往不满足此项要求。
对于任意一个函数，能否经过适当的改造使其进行傅立叶变换 时克服上述两个缺点呢？
对于任意函数 (t )
对函数 (t ) 进行先乘以 I (t )e t ( 0) ，再取傅立叶变换的运 算，就产生了拉普拉斯变换。
3.Z变换
X ( z ) x ( n) z n
n 0
0
N 1 n 0
T
j 2 f t
dt
t
X ( f ) x(nt )e
j 2 f nt
X ( f ) x(nt )e
n 0
N 1
j 2 f nt
t
在实际运算中，由于只能对有限项进行 计算，因此，必须对连续无限项的频率抽 取离散值，以便与时域采样相对应。取 Δ f＝(1/Δt)/N，结果把信号x(t)以T为周期加 以周期廷拓。对该周期离散信号进行付里 叶变换
y ( n)
k
x(k ) x(k ) x(n) y(n 1) x(n)
k

7、序列的比例（时间尺度）变换 序列 x(n) 的比例变换是将 x(n) 的波形压缩或扩 展而构成一个新的序列，因此，也称为序列的 重排。如果将序列 x(n) 进行比例变换所得到 的序列xd (n) 是
cn的模反映了n次谐波幅值的大小， 而cn的幅角则反映n次谐波的相位。
An 、 cn 关系称为幅值谱
n
2 n
关系称为相位谱
2
A 、 cn 关系称为功率谱
2.付里叶变换
（1）付里叶正变换
1 x(t ) 2
x( )e j d e j t d
其中 a0 , an , bn 为付里叶系数；
a0 2
表示信号静态部分，称为直流分量 表示信号的n次谐波
An sin(n t n )
付里叶级数的复指数形式：
x(t ) cn e
jn t
1 cn T

T /2
T / 2
x(t )e
jn t
dt ， (n 0， 1， 2， )

时域分析方法
数学变换主要是针对确定性信号而言 的，对于非确定性的随机信号由于不能给 出精确的数学表达式，因而只能用数理统 计和离散数字处理的数学方法来研究其规 律，这就是随机信号分析的内容。
对随机信号可从时域和频域这两个角度来进 行分析。如果对所测得的时间历程信号直接实行 各种运算且运算结果仍然属于时域范畴，则这样 的分析运算即为时域分析，如统计特征参量分析、 相关分析等；如果首先将所测时历信号经过付里 叶变换为频域信号，然后再对其施行各种运算的 分析方法统称为频域分析，如幅值谱分析、相位 谱分析和功率谱分析等。
E 1x(n) x(n 1), E m x(n) x(n m), Ex(n) x(n 1), E m x(n) x(n m)

4、序列的差分运算 序列的一阶前向差分运算和一阶后向差分运算 分别用相应的算子 和 定义为
x(n) x(n 1) x(n)
x3 (n) x1 (n) x2 (n)
序列的基本运算

2、序列的积 两序列 x1 (n)与x2 ( n) 的和与差是指它们同序号( n) 的序列值逐项对应相乘而构成一个新序 列 x3 ( n)，表示为
x3 (n) x1 (n) x2 (n)

3、序列的移位 x(n) 移位在波形上是指 x(n) 逐项依次移动某一 序列 指定序位而形成的一个新的序列，当 m 为正整数时， x ( n) x( n m) 是将 逐项依次右移（延时） m位的结果， x ( n) x(n m逐项依次左移（超前） ) 则是将 m 位的结果。当 m0 时 ，结论相反。

Z [ x(n)] x(n) z n
利用Z变换的性质，可将差分方程转换为代数方程， 从而使求解过程大为简化。(数字信号）
n 0

4.希尔伯特变换
x( ) 1 x^ (t ) d x(t ) * (t ) t 揭示了可实现系统函数实部与虚部之间的相互信 赖关系，主要用于信号包络的提取，奇异点信号 的获取。

X ( ) x(t )e


j t
dt
称为x(t)的付里叶变换
当使用频率f为自变量时 2f ，改写为
X ( f ) x(t )e

j 2 f t
dt
（2）付里叶逆变换
1 x(t ) 2



X ( )e
j t
d
称为付里叶逆变换
x(t ) X ( f )e
( A x A)
3.均值（一阶原点矩）
代表信号的静态部分或直流分量
1 T x lim x(t )dt xp ( x)dx T T 0
离散化计算公式
1 x N
x(t )
i 1 i


j 2 f t
df
复值函数，具有幅频特性和相频特性
X ( )

x(t ) e
j t
dt dt
X ( f ) x(t ) e


j 2 f t
频谱函数（频谱密度）
X ( ) X ( ) e
2
j ( )
X ( ) Re [ X ( )] Im [ X ( )]
2
Im[X ( )] ( ) arctan Re[ X ( )]
X ( ) 关系称为信号x(t)的幅值谱密度，
X ( ) 关系称为信号x(t)的能量谱密度，