合肥六中、淮北一中、阜阳一中、滁州中学、合肥一中2018——2019 学年第一学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个答案正确，每小题5分，共60分）1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，（∁U A ）∪（∁U B ）中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为（ ） A ．mnB ．m +nC ．n ﹣mD ．m ﹣n2．已知函数f(x)={3x (x ≤0)log 2x(x ＞0)，那么f[f(14)]的值为（ ）A ．9B ．19C ．﹣9D ．−193．已知tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，那么tan （α+π4）等于（ ） A ．1318B ．1322C ．322D ．164．若cos100°＝k ，则tan （﹣80°）＝（ ） A ．−√1−k 2kB ．√1−k 2kC ．±√1−k 2kD ．k √1−k 25．已知|a →|＝3，|b →|＝5，且向量a →在向量b →方向上的投影为125，则a →•b →=（ ）A ．152B ．12C ．15D ．5126．已知sin(2π+θ)tan(π+θ)tan(3π−θ)cos(π2−θ)tan(−π−θ)=1，则3sin θ+3sinθcosθ+2cos θ的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．67．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递增，f(13)=0，则满足f(log 18x)＞0的x 的取值范围是（ ） A ．(0，12)∪(2，+∞) B ．（0，+∞） C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)8．平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足（AB →−BC →）•（AD →−CD →）＝0，则三角形ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9．函数y ＝2x ﹣x 2的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．要得到函数y ＝sin （2x −π4）的图象，只要将函数y ＝﹣cos2x 的图象（ ） A ．向左平移π4B ．向右平移π4C ．向左平移π8D ．向右平移π811．如图所示，已知x 轴上一点A （1，0）按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ角（0＜θ≤π），经过2秒钟点A 在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角θ的弧度数为（ ）A ．4π7B ．5π7C ．4π7或5π7D ．无法确定12．n 是正数，若对于任意大于2018的实数x ，总有n 2x +xx−2018＞2019n 2成立，则实数n 的取值范围为（ ）A ．n ＞√2019−√2018B ．0＜n ＜√2019−√2018C ．n ＞√2019+√2018D ．0＜n ＜√2019+√2018二、填空题（每小题5分，共20分）13．设函数f （x ）＝x （e x +ae ﹣x ），x ∈R ，是偶函数，则实数a ＝ ．14．给出下列命题：①若a →2+b →2＝0，则a →=b →=0→；②已知A （x 1，y 1），B （y 2，y 2），则12AB →=（x 1+x 22，y 1+y 22)；③已知a →，b →，c →是三个非零向量，若a →+b →=0→，则|a →•c →|＝|b →•c →|；④已知λ1＞0，λ2＞0，e 1→，e 2→是一组基底，a →=λ1e 1→+λ2e 2→，则a →与e 1→不共线，a →与e 2→也不共线； ③若a →与b →共线，则a →⋅b →=|a →|•|b →|． 其中正确命题的序号是 ．15．已知函数f （x ）＝9x ﹣m •3x +m +1，x ∈（0，+∞）的图象都在x 轴的上方，则m 的取值范围是 ． 16．设函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），f （7+x ）＝f （7﹣x ）且在闭区间[0，7]上只有f （1）＝f （3）＝0，则方程f （x ）＝0在区间（﹣2019，2019）上的实数根的个数为 ． 三、解答题（请写出必要的解答过程，叙述、书写规范，共6小题，满分70分 17．已知f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）的图象过点（4，2）． （1）求a 的值：（2）若函数g （x ）＝f （12−sin x ）+f （16﹣x 2），求g （x ）的定义域．18．已知cos （α−π4）=√210，α∈（π2，π）．求：（1）cos α﹣sin α的值． （2）cos （2α+π3）的值．19．已知OA →=(2asin 2x ，a)，OB →=(−1，2√3sinxcosx +1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f(x)=OA →⋅OB →+b ，b ＞a ．（Ⅰ）若a ＞0，写出函数y ＝f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数y ＝f （x ）的定义域为[π2，π]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值．20．某地区的农产品A 第x 天（1≤x ≤20，x ∈N *）的销售价格p ＝50﹣|x ﹣6|（元∕百斤），一农户在第x 天（1≤x ≤20，x ∈N *）农产品A 的销售量q ＝a +|x ﹣8|（百斤）（a 为常数），且该农户在第7天销售农产品A 的销售收入为2009元．（1）求该农户在第10天销售农产品A 的销售收入是多少？ （2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？21．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若函数F（x）＝3[f（x−π12）]2+mf（x−π12）+2在区间[0，π2]上有四个不同零点，求实数m的取值范围．22．对于函数f（x）=a−2b x+1（a∈R，b＞0且b≠1）的定义域为x∈[﹣6，6]．（1）求实数a的值，使函数y＝f（x）为奇函数；（2）在（1）的条件下，令b＝2，求使方程（x）＝m（x∈[0，1]）有解的实数m的取值范围；（3）在（1）的条件下，不等式f[﹣sinθcosθ+λ（sinθ+cosθ）]+1−b31+b3＞0对于任意的θ∈[0，π2]恒成立，求实数λ的取值范围．一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个答案正确，每小题5分，共60分）1．D2．B3．C4．B5．B6．A7．A8．B9．A10．C11．C12．D二、填空题（每小题5分，共20分）13．﹣1．14．①③④15．m＜2+2√2．16．由f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），f（7﹣x）＝f（7+x），⇒f（x）＝f（4﹣x），f（x）＝f（14﹣x），⇒f（4﹣x）＝f（14﹣x），⇒f（x）＝f（x+10），又f（3）＝f（1）＝0，⇒f（11）＝f（13）＝f（﹣7）＝f（﹣9）＝0，故f（x）在[0，10]和[﹣10，0]上均有有两个解，从而可知函数y＝f（x）在[0，2019）上有404个解，在（﹣2019，0]上有403个解，所以函数y＝f（x）在（﹣2019，2019）上有807个解．三、解答题（请写出必要的解答过程，叙述、书写规范，共6小题，满分70分17．（1）依题意，log a4＝2，则a2＝4，解得a＝2；（2）依题意，{12−sinx＞016−x2＞0，即{sinx＜12−4＜x＜4，解得−7π6＜x＜π6或5π6＜x＜4，故函数g （x ）的定义域为(−7π6，π6)∪(5π6，4)． 18．（1）∵cos （α−π4）=√210，α∈（π2，π），∴√22（cos α+sin α）=√210，cos α+sin α=15，平方化简可得 sin2α=−2425．又α∈（π2，π），∴sin α＞0，cos α＜0，cos α﹣sin α=−√(cosα−sinα)2=−√1−sin2α=−75． （2）cos （2α+π3）=12cos2α−√32sin2α=12（cos α+sin α）（cos α﹣sin α）−√32sin2α=24√3−750． 19．（I ）f(x)=−2asin 2x +2√3asinxcosx +a +b =2asin(2x +π6)+b ∵a ＞0，∴由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2得函数y ＝f （x ）的单调递增区间是[kπ−π3，kπ+π6](k ∈Z) （写成[kπ+2π3，kπ+7π6](k ∈Z)也可以） （II ）x ∈[π2，π]时，2x +π6∈[7π6，13π6]，sin(2x +π6)∈[−1，12] 当a ＞0时，f （x ）∈[﹣2a +b ，a +b ]∴{−2a +b =2a +b =5，得{a =1b =4，当a ＜0时，f （x ）∈[a +b ，﹣2a +b ]∴{a +b =2−2a +b =5，得{a =−1b =320．（1）由已知第7天的销售价格p ＝50﹣|x ﹣6|＝50﹣|7﹣6|＝49，销售量q ＝a +|x ﹣8|＝a +|7﹣8|＝a +1． ∴第7天的销售收入W 7＝pq ＝49×（a +1）＝2009（元）．解得，a ＝40； 所以，第10天的销售收入为W 10＝p 10•q 10＝46×42＝1932（元）． （2）设第x 天的销售收入为W x ，则W x ={(44+x)(48−x)1≤x ≤62009x =7(56−x)(32+x)8≤x ≤20； 当1≤x ≤6时，W x =(44+x)(48−x)≤((44+x)+(48−x)2)2=2116（当且仅当x ＝2时取等号），∴当x＝2时有最大值W 2＝2116；当8≤x ≤20时，W x =(56−x)(32+x)≤((56−x)+(32+x)2)2=1936（当且仅当x ＝12时取等号），∴当x ＝12时有最大值W 12＝1936；由于W 2＞W 7＞W 12，所以，第2天该农户的销售收入最大． 21．（Ⅰ）根据f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知， A ＝1，T2=2π3−π6=π2，∴T ＝π，∴ω=2πT=2； 由“五点法画图”知， 2×π6+φ=π2，解得φ=π6； ∴函数f （x ）＝sin （2x +π6）；（Ⅱ）∵f （x −π12）＝sin （2x −π6+π6）＝sin2x ， ∴函数F （x ）＝3[f （x −π12）]2+mf （x −π12）+2 ＝3sin 2（2x ）+m sin2x +2； 在区间[0，π2]上有四个不同零点，设t ＝sin2x ，由x ∈[0，π2]，得2x ∈[0，π]，即sin2x ∈[0，1]，∴t ∈[0，1]，令F （x ）＝0，则3t 2+mt +2＝0在（0，1]上有两个不等的实数根， 令g （t ）＝3t 2+mt +2则由{ △＞0g(0)=2＞0g(1)＞00＜−m 6＜1，解得﹣5＜m ＜﹣2√6；∴实数m 的取值范围是﹣5＜m ＜﹣2√6． 22．（1）由f （0）＝0得，a ＝1，事实上，当a ＝1时，f(x)=1−2b x +1，此时f(−x)=1−2b −x +1=b −x−1b −x +1=1−b x1+bx =−f(x)， 故当a ＝1时，函数f （x ）为奇函数； （2）依题意，f(x)=1−22x+1，当x ∈[0，1]时，显然函数f （x ）为增函数，故f(x)∈[0，13]，为使方程（x ）＝m （x ∈[0，1]）有解，则m ∈[0，13]即可；（3）易知，当b ＞1时，函数f （x ）单调递增，原不等式成立即为f [﹣sin θcos θ+λ（sin θ+cos θ）]＞f （3）， 故只要3＜﹣sin θcos θ+λ（sin θ+cos θ）≤6即可，令t ＝sin θ+cos θ=√2sin(θ+π4)，则sinθcosθ=t 2−12，∵θ∈[0，π2]，∴t∈[1，√2]，∴3＜1−t22+λt≤6对t∈[1，√2]恒成立即可，由1−t22+λt≤6得2λ≤(11t+t)min=13√22，由3＜1−t22+λt得2λ＞(5t+t)max=6，∴λ∈(3，13√24]；同理，当0＜b＜1时，函数f（x）单调递减，故只要﹣6≤﹣sinθcosθ+λ（sinθ+cosθ）＜3即可，∴−6≤1−t22+λt＜3对t∈[1，√2]恒成立即可，可得λ∈[−11√24，7√24)；综上可知，当b＞1时，λ∈(3，13√24]；当0＜b＜1时，λ∈[−11√24，7√24)；。