高中数学专题讲义:如何破解集合间的关系类问题
考纲要求:
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
基础知识回顾:集合与集合之间的关系
1．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言符号语言
集合间
的
基本关
系
相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B
子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至
少有一个元素不是A中的元素
A B
空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
2.集合的基本运算
集合的并集集合的交集集合的补集图形
语言
符号
语言
A∪B＝{x|x∈A，或x
∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x
∈B}
∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}
3.
并集的性质:A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．
交集的性质:A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．
补集的性质:A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A．
应用举例:
招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．
【例1】【青海省西宁市高三下学期复习检测二】已知全集，集合
，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【例2】【安徽省安庆市第一中学高三热身考试】已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出．
详解:由题意得，
．
∴．
图中阴影部分所表示的集合为，
∴．
故选B．
点睛:本题考查函数值域的求法、不等式的解法和集合的运算，解答的关键是正确理解图中阴影部分所表示的集合的含义．
【例3】【宁夏石嘴山市第三中学高三下学期第三次模拟考试】设全集U＝R，集合
2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A .{}|13x x x ≤-≥或
B .{}|13x x x <≥或
C .{|1}x x ≤
D .{|1}x x ≤-
【答案】D
招数二、数轴图示法:若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
【例4】《高频考点解密》—解密01 集合】设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，且，则
A. k ＜0
B. k ＜2
C. 0＜k ＜2
D. −1＜k ＜2 【答案】C
【解析】∵U ＝R ，A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，∴＝{x |1＜x ＜3}．
∵B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，∴当时，有k ＋1≤1或k ≥3(不合题意，舍去)，如图所示，
∴k ≤0，∴当
时，0＜k ＜2，故选C ．
【例5】【北京市西城区北京师范大学第二附属中学期中考试】已知集合
，
，且
，则实数的取值范围__________．
【答案】
.
【解析】分析:根据两个集合的并集的定义，结合条件即可.
详解:
用数轴表示集合，若
，则
，即实数的取值范围是
．
故答案为:
.
点睛:本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，两个集合的并集的定义和求法. 招数三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而使问题得以解决．222x x x e e e ⋅=
【例6】已知集合}0{,},0624{2<=∈=++-=x x B R x m mx x x A ，},若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.
方法、规律归纳:
1．判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．
3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．
4．子集与真子集的区别与联系:集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为2n ，真子集个数为2n －1.
实战演练:
1．【吉林省榆树市第一高级中学2018届高三第三次模拟考试】设全集，，则图中阴影部分表示的集合是
A. {1，3，5}
B. {1，5，6}
C. {6，9}
D. {1，5}
【答案】D
【解析】∵，∴，∴图中阴影部分表示的集合是，故选D．
2．【湖北省摸底调研联合考试】已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
【答案】B
3．【福建省厦门市高中毕业班第二次质量检查】已知全集，集合
，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A. B. C. D.
【答案】C
4．【山东省济南省高三第二次模拟考试】设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析:先化简集合A，B，然后求交集即可.
详解:由题意可得:
∴
故选:D
点睛:本题考查集合的交运算，理解文氏图的含义是解题的关键，属于基础题.
5．【河北省邢台市高二下学期第三次月考】已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】D
6．《高频考点解密》—解密01 集合】已知全集为R，集合M＝{x∈R|−2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且，则实数a的取值范围是________．
【答案】a≥2
【解析】由题意得M＝{x|−2＜x＜2}，＝{x|x＜a}．∵M⊆，∴由数轴知a≥2.
7．【江苏省海安高级中学期期中考试】如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合.若 R , 则AB=______．
【答案】
【解析】分析:根据Venn图，图中阴影部分实质是
详解:，
故答案为.
点睛:Venn图是集合中的一个重要概念，一种重要方法，一定要掌握集合的运算与Venn图的
表示方法，基础是掌握交、并、补运算的Venn图表示，由此可用集合的运算表示出图中各个阴影部分.
8．【河南省巩义市市直高中高三下学期模拟考试】集合，，若只有一个元素，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
9．【京市西城区北京师范大学第二附属中学期中考试】若集合，．
（）若，全集，试求．
（）若，求实数的取值范围．
【答案】(1) .
(2) .
【解析】分析:（1）根据集合的基本运算求，即可求出答案；
（2）根据，建立条件关系即可求出实数m的取值范围.
详解:（）当时，由，得，
∴，
∴，
则，
∴．
（）∵，
由，
∴，即实数的取值范围是．
点睛:解决集合运算问题的方法
在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．
(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．
(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．
(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．
10．【江苏省海安高级中学高一下学期期中考试】已知集合A={x |}，．
（1）若a=1，求；
（2）若=R，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(-3,-1);(2)-1≤a≤3 .
（2），且=R，
∴，
∴a的取值范围是-1≤a≤3 .
点睛:本题考查集合的运算，解题时还要掌握绝对值的性质以及一元二次不等式的求解，属于基础题．。