微专题21 多元不等式的证明多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。
一、基础知识1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。
二、典型例题：例1：已知()()2ln ,()f x x g x f x ax bx ==++，其中()g x 图像在()()1,g 1处的切线平行于x 轴（1）确定a 与b 的关系（2）设斜率为k 的直线与()f x 的图像交于()()()112212,,,A x y B x y x x <，求证：2111k x x << 解：（1）()2ln g x x ax bx =++ ()'12g x ax b x∴=++，依题意可得： ()()'112021g a b b a =++=⇒=-+（2）思路：21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，所证不等式为2122111ln ln 1x x x x x x -<<- 即21221211ln x x x x x x x x --<<，进而可将21xx 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式解：依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，故所证不等式等价于：212122112222112112111ln ln 1ln 1ln 1x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x ---<<⇒<<⇔-<<-- 令21,(1)x t t x =>，则只需证：11ln 1t t t-<<- 先证右边不等式：ln 1ln 10t t t t <-⇔-+< 令()ln 1h x t t =-+ ()'111th t t t-=-=()h t ∴在()1,+∞单调递减 ()()10h t h ∴<=即ln 10t t -+<对于左边不等式：111ln ln 10t t tt-<⇔+->令1()ln 1p t t t =+-，则()'22111t p t t t t-=-=()p t ∴在()1+∞，单调递增 ()()10p t p ∴>=小炼有话说： （1）在证明不等式2122111ln ln 1x x x x x x -<<-时，由于12,x x 独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所以考虑构造表达式()12,f x x ：使得不等式以()12,f x x 为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式（2）所证不等式为轮换对称式时，若12,x x 独立取值，可对12,x x 定序，从而增加一个可操作的条件例2：已知函数()ln f x x x =． （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，且12x x ≠，证明：()()'2112212f x f x x x f x x -+⎛⎫< ⎪-⎝⎭解：（1）定义域为()0,+∞()'ln 1f x x =+令()'0f x > 解得：1x e>∴()f x 的单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ∴的极小值为1111ln f e e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，无极大值（2）思路：所证不等式等价于证22111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+-，轮换对称式可设12x x <，进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量 证明：不妨设12x x <12()2AB x x k f +'<⇔22111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+- 121222112121ln ln lnln 22x x x xx x x x x x x x ++-<-+- （由于定序12x x <，去分母避免了分类讨论）212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++ （观察两边同时除以1x ，即可构造出关于21xx 的不等式）两边同除以1x 得，2212221111122ln ln 111x x x x x x x x x x ⋅<+-++ 令21x x t =，则1t >，即证：22lnln 111t t t t t <+-++ 令22()ln ln 111t g t t t t t=--+++2221212()ln112(1)2(1)t t t g t t t t t t ++'=+⋅⋅+⋅-+++2111ln ln(1)1111t t t t t t t t ---=+=+-++++ 令()101t m m t -=>+，()()ln 1h m m m =+- （再次利用整体换元） ()'11011mh m m m=-=-<++，()h m 在()0,+∞上单调递减，所以()()00h m h <=即()ln 1m m +<，即()g t '11ln(1)011t t t t --=+-<++恒成立 ∴()g t 在(1,)+∞上是减函数，所以()(1)0g t g <=∴22ln ln 111t t t t t<+-++得证 所以12()2AB x x k f +'<成立小炼有话说：（1）本题考验不等式的变形，对于不等式212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++而言，观察到每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以1x ，结果为21x x 或者1，观察对数的真数，其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以1x ，结果为21x x 或者1，进而就将不等式化为以21x x 为核心的不等式 （2）本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式 例3：已知函数21()2x f x e x ax =--（a ∈R ）． （1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）如果函数()()212g x f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭恰有两个不同的极值点12,x x , 证明：12ln 22x x a +<． 解： （1）()f x 是R 上是增函数()',0x x R fx e x a ∴∀∈=--≥ (注意：单调递增→导数值0≥）()minxa e x∴≤-设()xh x e x =- ()'1xh x e =-令()'0h x >解得0x > 故()h x 在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增()()min 01h x h ∴== 1a ∴≤（2）思路：()()2212x g x f x a x e ax ax ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，()'2xg x e ax a =--。
所证不等式含有3个字母，考虑利用条件减少变量个数。
由12,x x 为极值点可得12122020x x e ax a e ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩从而可用12,x x 表示a ，简化所证不等式。
解：依题意可得： ()()2212x g x f x a x e ax ax ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，()'2xg x e ax a =--12,x x 是极值点()()12'11'22020020x x g x e ax a g x e ax a ⎧=⎧--=⎪⎪⇒⎨⎨=--=⎪⎪⎩⎩ 两式相减可得：12122x x e e a x x -=-所证不等式等价于：1212121221212ln 2x x x x x x x x e e e ee x x x x ++--<⇔<--，不妨设12x x > 两边同除以2x e 可得：12122121x x x x e ex x ---<-，（此为关键步骤：观察指数幂的特点以及分式的分母，化不同为相同，同除以2xe 使得多项呈12x x -的形式）从而考虑换元减少变量个数。
令12t x x =- ()0,t ∈+∞所证不等式只需证明：221+1<0t t t t e e te e t-<⇔-，设()21tt p x te e =-+ ()'2212t t t p x e e ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（2）证明可得：2102t t e ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭()'0p x ∴≤ ()p t ∴在()0+∞，单调递减，()()00p t p <= 证明完毕∴原不等式成立即12ln 22x x a +< 小炼有话说：本题第（3）问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于0的等式消去a ，进而使所证不等式变量个数减少。
最大的亮点在于对121212ln2x x x x e e x x +-<-的处理，此时对数部分无法再做变形，两边取指数，而后同除以2xe ，使得不等式的左右都是以12x x -为整体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式。
例4：已知()()21ln 1f x a x ax =+++ （1）讨论()f x 的单调性（2）设2a ≤-，求证：()()()121212,0,,4x x f x f x x x ∀∈+∞-≥- 解：（1）定义域0x >()2'1212a ax a f x ax x x+++=+= 令()'0f x >，即()2221021ax a ax a ++>⇒>-+① 0a = 则()'0fx >恒成立，()f x 为增函数② 0a > 则()212a x a+>-，()'0f x >恒成立，()f x 为增函数③ 0a <时，()212a x a+<-当1a ≤-，则()'0fx <恒成立，()f x 为减函数当10a -<<时，解得：0x <<（2）思路：所证不等式()()12124f x f x x x -≥-含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由（1）问可知()f x 单调递减，故只需知道12,x x 的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式，且12,x x 任取，进而可定序21x x >，所证不等式()()212144f x f x x x -≥-，即()()221144f x x f x x -≥-，发现不等式两侧为关于12,x x 的同构式，故可以将同构式构造一个函数，从而证明新函数的单调性即可。