微专题14 函数的切线问题一、基础知识： （一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。

这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。

故()'0f x 为()f x 在()()00,A x f x 处切线的斜率。

这是导数的几何意义。

3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置。

故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。

例如前面例子y x =在()0,0处不存在导数。

此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直x 轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。

例如：y =()0,0处不可导综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数。

由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数 。

（二）方法与技巧：1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A 的横坐标0x ，因为0x 可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标()0f x ，代入到导函数中可得到切线的斜率()'0f x k =,从而一点一斜率，切线即可求。

所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。

3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标()00,x y ,再考虑利用条件解出核心要素0x ，进而转化成第一类问题4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用0∆=求出参数值进而解出切线方程。

解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。

若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：y =1,22⎛⎝⎭处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决。

若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在y 轴的抛物线，可看作y 关于x 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在y 轴的抛物线切线问题的重要方法）5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。

“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。

如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了。

二、典型例题 例1：求函数()()32xf x ex =-在1x =处的切线方程思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜式求出切线方程解：()1f e = ∴切点坐标为()1,e()()()'33231x x x f x e x e x e =+-=+()'14f e ∴= ∴切线方程为：()4143y e e x y ex e -=-⇒=-小炼有话说：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到函数与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用 例2：已知函数()ln 2f x x x =+，则：（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行 （2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直解： （1）思路：切点未知，考虑设切点坐标为()00,x y ，再利用平行条件求出0x ，进而求出切线方程设切点坐标为()00,x y ()'0012fx x ∴=+ 由切线与420x y --=平行可得： ()'00011242f x x x =+=⇒= 011ln 122y f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ⎛⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝⎭（2）思路：与（1）类似，切点未知，考虑设切点坐标为()00,x y ，有垂直关系可得切线斜率与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求出0x ，进而求出切线方程 设切点坐标()00,x y ()'0012fx x ∴=+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011213f x x x ∴=+=-⇒=- 而()00,x ∈+∞ 013x ∴=-不在定义域中，舍去∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直小炼有话说：（1）求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需先设再求。

两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件（2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域。

在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内例3：函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++，求,a b 的值思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln22y x =-++上，322ln222ln24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P Q 在32ln22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-()2ln242ln24f a b ∴=-=-又因为P 处的切线斜率为3- ()'2afx bx x=- ()'2432af b ∴=-=-ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩小炼有话说：（1）本题中切线体现了两个作用：①切点在切线上，进而可间接求出函数值；②切线的斜率即为切点导数值（2）一般来说，在求未知量的值题目中，未知量的个数与所用条件的个数相等。

在本题中确定,a b 两个未知量，从而想到寻找两个条件来解决问题。

例4：曲线xy e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.2eB. 22eC. 24eD.22e思路：()'x fx e = 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 ()'22fe ∴=所以切线方程为：()222y e e x -=-即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为()()21,00,e - 221122e S e ∴=⨯⨯=答案：D小炼有话说：在平面直角坐标系中，我们研究的问题不仅有函数，还有解析几何。

所以在求面积等问题时也会用到解析几何的一些理念与方法。

例如求三角形面积要寻底找高，而选择底和高以计算简便为原则，优先使用点的坐标表示。

在本题中选择横纵截距来刻画三角形的两条直角边有助于简化计算。

例5：一点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )． A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。

'231y x =-，对于曲线上任意一点P ，斜率的范围即为导函数的值域：[)'2=311,y x -∈-+∞，所以倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U 答案：B小炼有话说：（1）对于切线而言，其倾斜角，斜率，切点处的导数联系紧密：倾斜角的正切值为斜率，斜率即为切点的导数值。

（2）斜率范围到倾斜角范围的转化要注意一下两点：① 斜率化倾斜角时尽量用图像进行辅助，观察斜率变化时，倾斜角的变化程度。

② 直线倾斜角的范围为[)0,π 例6：求过点()2,8A ，且与曲线()3f x x =相切的直线方程思路：()2,8A 满足()f x ，但题目并没有说明A 是否为切点，所以要分A 是否为切点进行分类讨论。

当A 是切点时，易于求出切线方程，当A 不是切点时，切点未知，从而先设再求，设切点()00,x y ，切线斜率为k ，三个未知量需用三个条件求解：① ()00y f x =，②()'0k f x =，③00AAy y k x x -=-解：（1）当()2,8A 为切点时 ()'23f x x =()'212f ∴= ∴切线方程为：()81221216y x y x -=-⇒=-（2）当()2,8A 不是切点时，设切点()00,P x y ()02x ≠，切线斜率为k3002000382y x k x y k x ⎧⎪=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪=-⎪⎩，消去0,k y 可得：32000832x x x -=- 而()()3200008224x x x x -=-++ 02x ≠Q ∴方程等价于：222000032420x x x x x =++⇒--= 解得：02x =（舍），01x =-01,3y k ∴=-= ∴切线方程为()13132y x y x +=+⇒=+综上所述：切线方程为1216y x =-或32y x =+小炼有话说：（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子（2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件。