第一讲 二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1、 函数y=（m ＋2）x22-m＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）① y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．例4、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．例5 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．例6．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ； （2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围； （3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．第二讲 抛物线图像及性质知识点归纳：考点一、作图“三步取”：一般地，二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同，都是三步：列表、描点、连线。

规律技巧：列表时注意以0为中心，对称取值（一般取3-4组值）。

观察图像，可得抛物线的开口方向、对称轴。

例1（1）作二次函数y=x 2和y=-x 2的图象（2）作二次函数y=2x 2+1和y=2 x 2-1的图象（3）作二次函数y=（x+1）2和y=（-x-1）2的图像考点二、求抛物线的顶点、对称轴的方法1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.考点三、次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．顶点为（－2b a，244ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2ba，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2ba，y 随x 的增大而增大．（3）当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当xx=－2ba时，函数有最大值244ac b a -考点四、图象的平移：左加右减，上加下减将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ） 形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．例2、已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．（1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．例3、求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反； （3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．例4、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．例5、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．例6、二次函数y=a(x －h)2的图象如图：已知a=12，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。

例7、试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移23个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

例8、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，试求b 、c 的值。

第三讲 函数的图象特征与a 、b 、c 的关系考点：a 看开口方向，c 看与y 轴的交点位置，b 结合a 、看对称轴的位置。

例1、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论： 20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤训练题1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<02.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2a C ．a-b+c> 0 D ．c< 03.抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图3，有以下结论：①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ）A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①③⑤4.当b<0是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（ ）5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图5所示，那么abc ，b 2－4ac ， 2a ＋b ，a ＋b ＋c 四个代数式中，值为正数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个11 1- Ox y1x A y O 1xB y O 1xC y O 1xD y O7.二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）8、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）9.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x 的值只能取0； 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y ＝ax ＋bc 不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是 （ ）A ．0<aB ．0<bC ．0<cD ．042<-ac b13、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞0yxO1 －1第四讲函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

例二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x －h)2+k求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

例三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。