第一章 计数原理复习导学案一． 学习目标 1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题． 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． 3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应 用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 二． 知识网络项式系数性质第一课 两个原理一．知识梳理1． 分类计数原理（也称加法原理） ：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法 中有 m 1种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种不同的方法，⋯⋯，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ 种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理） ：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m 1种不同的方法，做第二步有 m 2种不同的方法，⋯⋯，做 n 步有 m n 种不同的方法，那么完 成这件事共有 N ＝ 种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．二．基础自测1. 有一项活动需在 3名老师， 8 名男同学和 5名女同学中选人参加， （1）若只需一人参加， 有多少种不同的选法？（ 2 ）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？2. ( 09重庆卷)将 4名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分 配方案有 种(用数字作答) ．3. 如图所示，用五种不同的颜色分别给 A 、B 、 C 、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同排列组合 二项式定理二项式定通项公式应用应用两个计数原理颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种.4.(09 全国卷)甲组有5名男同学，3 名女同学；乙组有6 名男同学、2 名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1 名女同学的不同选法共有5.(09 浙江卷)甲、乙、丙3人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 (用数字作答) ．三．典例剖析例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？练习：1. 从1 到20 这20 个整数中, 任取两个相加, 使其和大于20, 共有几种取法?例2 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2}, P(a, b) 表示平面上的点( a, b∈ M), 问:(1)P 可表示平面上多少个不同的点?(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P 可表示多少个不在直线y=x 上的点?练习：2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元. 某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19 至29中选2 个连续的号，从30 至36 中选1 个号组成一注. 若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？例 3 （16分）现有高一四个班学生 34人,其中一、二、三、四班各 7人、8人、9 人、 10 人，他们自愿组成数学课外小组 .（ 1 ）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（ 2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？ （3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？练习： 3.某校高中部，高一有 6个班，高二有 7个班，高三有 8 个班，学校利用星期六组 织学生到某厂进行社会实践活动 .（ 1 ）任选 1 个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？ （2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（ 3 ）选 2 个班的学生参加社会实践，要求这 2 个班不同年级，有多少种不同的选法？四．自主检测 ．选择题1（．09北京卷理）用 0到 9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（A ． 324B ．328C ．3602. （08·全国Ⅰ文） 将 1，2，3 填入 3×3 的方格中，要求每行、每列都 没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6 种B ．12种C ．24种D ．48种3. （ 2009四川卷文） 2 位男生和 3位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位 女生中有且只D ． 648有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 48C. 42D. 36二、填空题4.5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.答案325. 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“××××××× 9999”共10 000 个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“ 7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.答案5 9046.若一个m, n 均为非负整数的有序数对（m,n），在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m, n）为“简单的”有序数对，m+n 称为有序数对（m, n）的值，那么值为1 942 的“简单的”有序数对的个数是.答案300三、解答题7.（1）4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？8.用5 种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？9.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b, 且a,b 都是集合{1,2,3,4,5,6} 的元素,又点P到原点的距离| OP| ≥5.求这样的点P的个数.10.将3 种作物种植在如图所示的5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？第二课排列与组合二．基础自测1.（09北京卷文）用数字1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为2.（09湖北卷文）从5名志愿者中选派4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有3.停车场每排恰有10 个停车位. 当有7 辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3 个空车位连在一起的排法有种. （用式子表示）4.在100 件产品中有6 件次品，现从中任取3 件产品，至少有1 件次品的不同取法种数是（用式子表示）.5.如图，用6种不同的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.三．典例剖析例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.练习：1. 用0、1、2、3、4、5 这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125 的数.例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2 名；（2）至少有1 名女运动员；（3）队长中至少有1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.练习：2.某医院有内科医生12名，外科医生8 名，现选派5 名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？例3 4 个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内（1）恰有1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1 个盒内有2 个球，共有几种放法？（3）恰有2 个盒不放球，共有几种放法？练习： 3. 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成 1本、2本、 3本三组； （ 2）分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3本； （3）分成每组都是 2 本的三组； （4）分给甲、乙、丙三人，每人2 本.四．自主检测 一．选择题1. （08上海）组合数 C rn （n >r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（）2. （09全国卷Ⅱ）甲、乙两人从 4门课程中各选修 2 门。

则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（ ）A. 6 种B. 12 种C. 30 种D. 36 种3. （ 09辽宁卷）从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中 男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）（A ）70 种 （B ） 80种（C ） 100种（D ）140 种 二、填空题4. 将编号为 1，2，3，4，5的五个球放入编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子里，每个盒子 内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有种.5. 平面 内有四个点，平面 内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定 个平面，任取四点，最多可确定 个四面体 . （用数字作答）6．（06 陕西卷 ）某校从 8名教师中选派 4 名教师同时去 4个边远地区支教 （每地 1人），其 中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种 ． 三、解答题7. 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，求该外商不同的投资方案有多少种？8. 课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女各指定一名队长，现从 中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？B ． ( n +1)( r +1)C r n--11r +1 r -1nr Cn -1（1）只有一名女生；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.9.已知平面∥ ，在内有4 个点，在内有6 个点.（1）过这10 个点中的3 点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？10.有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排2 人就座，规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，共有多少种不同排法？第三课 二项式定理一．知识梳理1．（a ＋b ）n＝（n ∈N ），这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做（a ＋b ）n的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的 通项，用 T r ＋1表示，即通项公式 T r＋1＝是表示展开式的第 r ＋1 项．2．二项式定理中，二项式系数的性质有：① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：0 n 1 n 1 2 n 2 C n C n ,C n C n ,C n C n② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇 数，中间两项的二项式系数相等并且最大， 即当n 是偶数时， n+1是奇数， 展开式共有 n+1 项，中间一项，即：第 项的二项式系数最大，为；当 n 是奇数时， n+1 是偶数，展开式共有 n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 ③ 二项式系数的和等于 ————————— ，即 ———————————— ④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝ 即 ⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：C nk 1:C nkn k : k 13．二项式定理主要有以下应用① 近似计算② 解决有关整除或求余数问题③ 用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法” ） 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 ④ 杨辉三角形 二，基础自测1. 在（ 1+x ） （n ∈N ） 的二项展开式中，若只有 x 的系数最大，则 n= .12.在（a 2-2a 3 ）n的展开式中，则下列说法错误的有 个.①没有常数项②当且仅当 n=2 时，展开式中有常数项 ③ 当且仅当 n=5 时，展开式中有常数项④ 当 n=5k （ k ∈N *） 时，展开式中有常数项3.若多项式 C n( x+1)n-C 1n (x+1)n-1+⋯+(-1) rC r n (x+1)n-r+⋯+(-1) nC nn =a 0x n +a 1x n-1+⋯+a n-1x+a n ,则 a 0+a 1+⋯ +a n-1+a n = .21 5 44. (09 浙江卷理)在二项式 (x2) 5的展开式中，含 x 4 的项的系数是 。