(010)与（210）的夹角为 arc tan1/2 (110)与（210）的夹角为 arc tan1/2-45° 13、利用立方体图形，计算 CH4 正四面体结构 C-H 键的夹角是 109o28＇ A、B、C、O 为 CH4 中 4 个 H，D 为 CH4 的 C A、O、D 的原子坐标分别为（1，0，1） ，(0，0， 0)， （1/2,1/2,1/2） AD=√3/2 , OD=√3/2, AO=√2 ∠AOD 为两个 C-H 键的夹角 Cos∠AOD=（AD2+ OD2- AO2）/2 AD· OD=-1/3 ∠AOD=109o28＇ 即 CH4 中 C-H 键夹角为 109o28＇ 14.利用三角函数法，证明由于点阵结构的制约，晶体结构中不存在 5、7 及更高 次轴。
，
解： 设 A 的射散因子为 fa,B 的射散因子为 fb F(hkl)= faei2π(0+0+0) +fbei2π( =fa+ fbeiπ(h+k+l) =fa+ fb[cosπ(h+k+l)+i sin(h+k+l)] 当 fa=fb，即 AB 为相同物质时： 当 h+k+l=奇数时，F(hkl)=0 当 h+k+l=偶数时，F(hkl)=2f 在奇数时不衍射，故为体心点阵（I） 当 fa≠fb，即 AB 为不同物质时： 无消光现象，故为简单点阵（P）
b (s s 0) k
c (s s 0) l
式中 a,b,c 反映了晶胞大小形状和空间取向； s 和 s 0 反映了衍射 X 射线和入射 X 射线的方向；h,k,l 为衍射指标， 为 X 射线波长。 衍射强度 Ihkl 和结构因子 Fhkl 成正比，而结构因子和晶胞中原子种类及其坐标参数 x,y,z 有关：
2 / n 1 2 / 2 2 / 3 2 / 3 / 2 2 / 4 / 3 2 / 6 2 2 / 1
n
（1）
（2）
（3）
Oh
16、举例说明点群的国际符号的意义：用国际符号确定出属于
和
Td
点群的晶
系的所有对称元素？ 答： （1）晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称作晶体学点群。点群的 国际符号是按照一定的顺序排列的数字和字母，这种排列先后的顺序叫“位序” ， 大多记三位，表示晶体中三个方向的对称性。例如： .NH3，具有三角锥结构， 只有一个 3 重轴（应属于单轴群） ，还有过轴的镜面，因此应是 C3V 群；BrF5， 用价层电子对互斥理论确定其几何结构为四方角锥，应是 C4V。NH3，具有三角 锥结构，只有一个 3 重轴（应属于单轴群） ，还有过轴的镜面，因此应是 C3V 群； BrF5，用价层电子对互斥理论确定其几何结构为四方角锥，应是 C4V。 （2） O h ：4 3，3 4，6 m
Td ：43，34，62.，9m，i
17.
绘图指出金红石（TiO2）晶体中的 42 螺旋轴
4 3 2 1 6 6 4’ 5 3’ 2’ 7’ 6’ 1’ 8’ 5’ 4 7 8 3 2 7 1 8 5
18.对直线点阵与晶面组（h*k*l*）垂直的情况，推正出布拉格方程。
S0 D θ 2 A 1 θ d C 3 θ
s
（h*k*l*）
B
E
由图可知：AE=dh*k*l*
Δ =BC－AD=nλ
∠CAE=θ
在直角三角形 ABD 中，AB=AD/cos[∠(2+θ )] 在直角三角形 ABC 中，AB=BC/sin[∠(1+θ )] 在直角三角形 ABE 中，AB=d
h*k*l*/cos∠1
(7-5) (7-6) (7-7)
由（7-6）式与（7-7）式可得： BC= d
h*k*l*·sin[∠ (1+θ
)] /cos∠1
由(7-5) 式与（7-7）式可得： AD= d 所以 △= BC- AD= d h*k*l* {sin[∠(1+θ - cos[∠(2+θ )]) cos∠1 (7-8)
h*k*l*·cos[∠(2+θ
6、衍射指标和晶面指标有何区别和与联系？ 答：衍射指标表示衍射与倒易点阵点（h, k， l)关系的符号，记为 hkl。衍射指 标与晶面指标的不同之处在于：三个整数 h、k、 l 不必是互质的。 衍射指标 hkl 的整数性决定了晶体衍射方向的分立性，每一套衍射指标规定了一 个衍射方向。设有一组晶面，间距为 d(hkl)，一束平行 X 射线射到该晶面族上， 入射角为 θ。晶面族产生衍射的条件为： 2 d (hkl) sinθn＝ n λ 7.如图，对于层形石墨分子形成的二维晶体，其结构基元除了图中的选法外，还 可与怎样选择？各种选法所得的结构基元中都包含几个 C？几个 C---C 键长？
I c H G
E D b K D D D D D
F
C
A
B
a
由图可知晶面 （100）为 BCGF ,(010)为 CDHG,(110)为 BDHF,(210)为 BFIK
(100)与（010）的夹角为 90° (100)与（110）的夹角为 45° (100)与（210）的夹角为 arc tan2 (010)与（110）的夹角为 45°
第七章 晶体结构的点阵理论 组员：070601321 艳君 070601322 林露 070601323 洁洁 070601324 明颖 070601325 林莹 070601326 俞鸿 070601347 潘渊 1.在空间点阵中，是否一定能够选出素单位（不论平行六面体的形状如何）？立 方面心点阵能否选出？怎样选法？ 答：能。可以，分别取四条棱的中点，连线，构成一个面，即为立方面心点阵。 2.根据划分点阵正当单位的基本原则，论证平面点阵的四类点阵的四种类型中只 有矩形单位有带心和不带心的两种型式，而其他均无带心的形式。 证明：正单位即对称性高的、含点阵少的单位。符合要求的平面正当格子只有四 种形状五种型式，即正方形格子，矩形格子，矩形带心格子，六方格子和平行四 边形格子。如下图所示，
)] /cos∠1
因为 ∠1+∠1=90°，所以 cos∠2= sin∠1，sin∠2= cos∠1 代入（7-8）式，得 △= d 即 2d
h*k*l*·2sinθ
h*k*l*·2sinθ nh*nk*nl*=nλ
19.金属铝为立方晶系晶体，晶胞参数 a=404.9pm，试计算 d200、d111、 d220 。 解： 立方晶系 dhkl = a/ h2+k2+l2
2 个 C，2 个 C---C 键长
3 个 C，3 个 C---C 键长
4/3 个 C，1 个 C---C 键长
10/3 个 C，5 个 C---C 键长 8.写出金刚石立方晶胞中碳原子的分数坐标，已知晶胞参数 a=356.7pm，计算 C-C 键长。 解： 可知 C 的原子坐标为（0，0，0）和（ 1 1 , 4 4 , 1 ） 6
பைடு நூலகம்
四方格子
六方格子
正方形格子
矩形带心格子
矩形格子
若其他形式的格子含有点心结构，则又会变回无带心形式。
3.以二维图形为例，论证非并置堆砌不符合平移群的要求。
解析：对于二维结构，晶胞定点应为 4 个晶胞共有，才能保证晶胞定点上的点有 着相同的环境。如图，若每个矩形代表一个结构基元，由于 A 点和 B 点的周围 环境不同， （A 点上方没有连接线， B 点下方没有连接线） ， 图中的矩形不是晶胞。 晶胞可选择红色线所组成的，形成形成有晶胞并置排列的结构。 4.点阵结构与晶体有何对应关系？空间格子与晶格是对应关系还是同一回事？ 答： 这些几何点在空间按一定规律排列 （周期重复） 就构成了点阵。 晶体的不同， 所对应的点阵形式不一定相同， 但它们都有一个共同的性质，连接其中任何两点 所决定的矢量，进行平移都能够复原。点阵是反应晶体结构周期性的几何形式。 空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格 子或晶格。 5.为什么有立方面心点阵型式，而无四方面心点阵型式？ 如图所示，因为四方面心可由四方体心代替。
h 2 k l + + ) 2 2
结构基元：A:○ fa=fb
B:● fa≠fb
10. 根据群的性质，证明二维点阵符合平移群：Tmn=ma+nb 证明：平面点阵可以看成是两个不平行的直线点阵，因为点阵是一组无限的点， 连接其中任意两点可得一向量，设为 a, 则在 a 方向上进行平移可得：Tm=ma， 同理，可设另一个不与 a 平行的向量 b，在 b 方向上进行平移可得 Tn=nb,因为不
设该晶胞中有一旋转轴 n，通过某点阵 O，根据除一重轴外，任何对称轴必与一 组平面点阵垂直，则必有一组平面点阵与 n 垂直，而在其中，必可以找出与 n 垂直的、属于平移群的素向量 a。如图，讲 a 作用于 O 得 A 点，将-a 作用于 O 得 A'点。若以 2pai/n 表示 n，的基转角（a） ，则 L/(2pai/n)及 L/(-2pai/n） ，必能使 点阵复原，这样就必可得到阵点 B 及 B'，并可得出向量 BB'。由于向量 OB'及 OB 是 a-及 a 绕 n 旋转后得到的， 属于平移群。 由图可以看出， BB'必平行于 AA'， 则有 BB'=ma， m 为整数。 由图中的几何关系可得： BB' 2 OB cos(2 / n) ， 即 m/2=cos(2 /n)，因 -2。 分别解
平行的两条直线可以确定一个平面。综上所述 Tmn=ma+nb 11.NaCl 晶胞如图所示，试计算晶胞中 Na＋、Cl－数和 NaCl 粒子数；并推求出带 阴影的三个晶面的晶面指标。 Na+ ：12×（1/4）+1=4 Cl－ : 8×（1/8）+6×（1/2） =4