解析几何答案-廖华奎-王宝富-第一章第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），则()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+= ()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，ABCabcABCDabca b+b c +则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。

3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F（如下图），并且记 ,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。

4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F，记向量,AB a FA b ==，ABab cEFDC则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

5. 试证命题1.1.2。

证明：必要性，设,,a b c 共面，如果其中有两个是共线的，比如是,a b ，则,a b 线性相关，从而,,a b c 线性相关。

现在设,,a b c 两两不共线，则向量c 可以在两个向量,a b 上的进行分解，即作以c 为对角线，邻边平行于,a b 的平行四边形，则存在实数,λμ使得c a b λμ=+，因而,,a b c 线性相关。

充分性，设,,a b c 线性相关，则存在不全为零的数123,,k k k ，使得1230k a k b k c ++=。

不妨设3k≠，则向量c 可以表示为向量,a b 的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量c 平行于由向量,a b决定的平面，故,,a b c 共面。

6. 设,,A B C 是不共线的三点，它们决定一平面∏，则点P 在∏上的充要条件是存在唯一的数组(,,)λμν使得,(*)1,OP OA OB OC λμνλμν⎧=++⎪⎨++=⎪⎩其中，O 是任意一点。

P 在ABC ∆内的充要条件是(*)与0,0,0λμν≥≥≥同时成立。

证明：必要性，作如下示意图，连接AP 并延长交直线BC 于R 。

则由三点,,B R C 共线，存在唯一的数组12,k k 使得12OR k OB k OC=+，并且121kk +=。

由三点,,A P R 共线，存在唯一的数组12,l l 使得12OP l OA l OR =+，并且121ll +=。

于是1212122OP l OA l OR l OA l k OB l k OC =+=++，设12122,,,l l k l k λμν===由12,k k ，12,l l 的唯一性知道(,,)λμν的唯一性，则,OP OA OB OC λμν=++且121221ll k l k λμν++=++=。

充分性，由已知条件有(1)OP OA OB OC OA OB OC λμνλμλμ=++=++--ABCOR P()()OA OC OB OC OC λμ=-+-+CA CB OCλμ=++,得到CP CA CBλμ=+，因而向量,,CP CA CB 共面，即P 在,,A B C 决定的平面上。

如果P 在ABC ∆内，则P 在线段AR 内，R 在线段BC 内，于是12120,,,1k k l l≤≤，则0,,1λμν≤≤。

如果（*）成立且0,,1λμν≤≤，则有CP CA CB λμ=+，这说明点P 在角ACB ∠内。

同样可得到AP AB AC μν=+，这说明点P 在角BAC ∠内。

故P 在ABC ∆内。

7. 在ABC ∆中，点,D E 分别在边BC 与CA 上，且11,,33BD BC CE CA AD ==与BE 交于R ，试证 14,.77RD AD RE BE ==证明：作如下示意图，由三点,,B R E 共线，存在k 使得(1)CR kCB k CE =+-，由三点,,A R D 共线，存在l 使得(1)CR lCA l CD =+-，由于11,,33BD BC CE CA ==有21,,33CD CB CE CA ==因而1(1)3CR kCB k CA =+-2(1)3lCA l CB=+-。

由于向量,CA CB 不共ACRE线，所以21(1),(1)33k l l k =-=-，解此方程组得41,77k l ==。

由此得4377CR CB CE =+， 4344()7777ER CR CE CB CE CE CB CE EB =-=+-=-=。

同理得到17DR DA =。

故得14,.77RD AD RE BE == 8. 用向量法证明ABC ∆的三条中线交于一点P ，并且对任意一点O 有1().3OP OA OB OC =++证明：设,,D E F 分别是边,,AB BC CA 的中点，则,AE BF交于一点P ，连接,CP CD。

由,,A P E三点共线，存在k使1(1)(1)2CP kCF k CB kCA k CB =+-=+-，由,,B P F 三点共线，存在l使1(1)(1)2CP lCE l CA lCB l CA =+-=+-，于是得111,122k l l k =-=-，解得23k l ==。

从而有1133CP CB CA =+，然而1122CD CB CA =+，故23CP CD =，即,,C P D 三点共线，ACDEF PABC∆的三条中线交于一点P 。

任取一点O，由1133CP CB CA=+，得到11()()33OP OC OB OC OA OC -=-+-，于是1().3OP OA OB OC =++ 9. 用向量法证明四面体ABCD 的对棱中点连线交于一点P ，且对任意一点O 有1().4OP OA OB OC OD =+++证明：设四面体ABCD 的棱,,AB AC AD 的中点分别是,,B C D '''，棱,,BC CD DB 的中点分别是,,E F G ，如下图。

则对棱中点连线为,,B F C G D E '''。

则容易知道12C E AB D G ''==，12C D CD EG ''==，因此四边形C D GE ''是平行四边形，,C G D E ''相交且交点是各线段的中点。

同理,B F C G ''也相交于各线段的中点，故,,B F C G D E '''交于一点P 。

由以上结论知道，对任意一点O ，由P 是D E '的中点，有111111()()222222OP OD OE OA OD OC OB '=+=+++，ABC GEF DB 'C 'D '即1().4OP OA OB OC OD =+++ 10. 设(1,2,,)iA i n =是正n 边形的顶点，O 是它的中心，试证10.nii OA ==∑证明：设1nii a OA ==∑，将正n 边形绕着中心旋转2n π。

一方面向量a 绕点O 旋转了角度2n π而得到一个新的向量a '；另一方面，正n 边形绕着中心旋转2n π后与原正n 边形重合，因而向量a 没有变化。

方向不同的向量要相等只能是零向量，故10.nii OA ==∑证法2：由于(1,2,,)iA i n =是正n 边形的顶点，O 是它的中心，所以21(1,2,,)ii i OA OAkOA i n +++==，其中1122,n n A A A A ++==。

由三角不等式得到21212(1,2,,)i i i ii i OA OA k OA OA OA OA i n +++++=<+==，故有2k <。

所以2111()2nn nii i ii i i OA OAOA k OA +===+==∑∑∑，由于2k <，所以10.nii OA==∑11. 试证：三点,,A B C 共线的充要条件是存在不全为零的实数,,λμν使得OA OB OC λμν++=且0λμν++=其中，O 是任意取定的一点。

证明：必要性，如果三点,,A B C 中至少有两点重合，比如,A B 重合，则0OA OB -=，所以结论成立。

如果,,A B C 互不重合，由例1.1.1知道三点,,A B C 共线的充要条件是存在数k 使得(1)0kOA k OB OC +--=，令,1,1k k λμν==-=-，则,,λμν不全为零，有0OA OB OC λμν++=，(1)10k k λμν++=+--=。

充分性，设0OA OB OC λμν++=且0λμν++=，则()0OA OB OC λμλμ+-+=，()()0OA OC OB OC CA CB λμλμ-+-=+=，由于,,λμν不全为零，以及点O 的任意性，可知,λμ不全为零，否则ν也为零。

所以不妨设0λ≠，则1CA CBλμ-=-，因而三点,,A B C共线。

习题1.21. 给定直角坐标系，设(,,)P x y z ，求P 分别关于xOy 平面，x 轴与原点的对称点的坐标。

解：在直角坐标系下，点(,,)P x y z 关于x O y平面，x轴与原点的对称点的坐标分别是(,,)x y z -，(,,)x y z --，(,,)x y z ---。