三、解答题26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--==N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为)22,1(--，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以.22122=--=k （2）直线PA 的方程2221,42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得).34,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是),0,32(C 直线AC 的斜率为.032,13232340=--=++y x AB 的方程为故直线.32211|323432|,21=+--=d 因此（3）解法一：将直线PA 的方程kx y =代入221,42x y x μ+==解得记则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是--故直线AB 的斜率为,20kk =++μμμ 其方程为,0)23(2)2(),(222222=+--+-=k x k x k x ky μμμ代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222k k k x x B kkkμμμμ++==-+++或因此.于是直线PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231k k k k k k k k kkk k -=+-++-=++-+=μμμ因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二：设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则.设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以.22)()(0111112kx y x x y k ==---=从而1)()(212112*********+----⋅--⋅=+=+x x y y x x y y k k k k.044)2(12221222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 28.（北京理19）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB表示为m 的函数，并求AB的最大值.（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-离心率为.23==a c e（Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(-此时3||=AB当m=－1时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418k m k x x k mk x x +-=+=+又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2.3||342+=m m由于当3±=m 时，,3||=AB所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+=Y m m m AB .因为,2||3||343||34||2≤+=+=m m m m AB且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.32.（湖南理21）如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于C1的长半轴长。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E ． （i ）证明：MD ⊥ME;（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l,使得121732S S =?请说明理由。
解 ：（Ⅰ）由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a ac e 解得又从而故C1，C2的方程分别为.1,14222-==+x y y x（Ⅱ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kxy 得12=--kx x .设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是.1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为（0，—1），所以2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅.11122-=-++-=k k故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.（ii ）设直线MA 的斜率为k1，则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,1,1211x y x k y x k y 由解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,1021k y k x y x 或则点A 的坐标为)1,(211-k k . 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是211111111|||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k解得12121218,140,14114k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++又直线ME 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+- 于是)4)(1(||)1(32||||2121211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S . 因此21122114(417).64S k S k =++由题意知，2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或又由点A 、B 的坐标可知，21211111113,.12k k k k k k k k -==-=±+所以故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==和34.（全国大纲理21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．,.解：（I ）F （0，1），l 的方程为21y x =+，代入2212y x +=并化简得242210.x x --=…………2分 设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y则122626,44x x ==12121222()21,x x y y x x +=+=++= 由题意得3123122(),() 1.2x x x y y y =-+=-=-+=-所以点P 的坐标为2(1).- 经验证，点P 的坐标为2(1)-满足方程221,2y x +=故点P 在椭圆C 上。
…………6分（II）由(1)2P --和题设知，(2QPQ 的垂直平分线1l的方程为.2y x =-①设AB 的中点为M，则1)42M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为1.4y x =+②由①、②得12,l l的交点为1(,)88N -。
…………9分21||8||||2||4||,8||NP AB x x AM MN NA ===-======故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …………12分36.（山东理22）已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S∆=2,其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上，因此2211132x y +=①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅=②由①、②得11||| 1.x y ==此时222212123,2,x x y y +=+=（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…………（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k -+=-=++所以2||23PQ k ==+因为点O 到直线l 的距离为d =所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅223k =+223m k =+又2OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式， 此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。