它们的图像都是一条直线，z轴！
x y z a , 例3.1.4 讨论方程组 a 的图像. x y ax
x y z a 解：方程组的图像是球面 a a 与母线平行于z轴的圆柱面 x y 的交线
F x, y, z , G x, y, z
称为空间曲线的一般方程 注： (1)表示同一条曲线的方程不唯一。 (2)曲线上点的坐标都满足方程，
z
S1 S2
o
C
y
满足方程的点都在曲线上， x试考察方程
第3章 常见的曲面
本章在初步介绍空间图形与方程之间的一般关系 后，对柱面、锥面、旋转曲面以及二次曲面(包括椭球 面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛 物面)进行讨论.
对于前三种曲面具有明显的几何特征,我们着重从 这些曲面的几何特性来建立它们的方程.
对于五种二次曲面，我们则从曲面的标准方程出 发来讨论它们的几何性质, 描述它们的几何形状.
z
点P 在该圆锥面上
L
cos OP, k cos


OP k OP k
cos

y
x
x y tan z , 整理得二次齐次方程
圆锥面的坐标式方程
习题8（1） 已知圆锥面的顶点为P0 (1, 2,3)，轴垂直于 平面 x y z ，半顶角为 ,求这圆锥面的 方程. 解 圆锥面的轴过点 P0 , 方向向量 v 2,2, 1.
特别地,当 C0 是原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
C0
x o
P
y
球面方程： ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 将这个方程展开,得到关于 x, y, z的三元二次方程 2 2 2 x y z 2ax 2by 2cz d 0, 2 2 2 2 其中 a x0 , b y0 , c z0 , d x0 y0 z0 R . 该方程的特点：①各平方项系数为 1 ②不含交叉项 xy, yz, zx ③ a 2 b2 c 2 d 0
练习 2：求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为1 : 2 的点的全体所组成的曲面方程.
解
设 M ( x , y , z )是曲面上任一点，
1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 | MO |

x2 y 2 z 2 1 , 2 2 2 x 2 y 3 z 4 2
和方程组
z x y z x y z
x y z , z
的图像. 注意：方程和方程组也可能同解！

x , 如：方程 x y 和方程组 的图像 y
解
设 M ( x , y , z )是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,


x 1 y 2 z 3
2 2
2

x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
即
x 1, y, z 2 1, 2,3 3
14 ,
2
于是所求的圆柱面方程为
3 y 2z 4
2
z 3x 1 2 x y 2 126.
2
3.圆锥面 例3.1.3 过定直线 l 上一点 P0 且与该直线交于定锐角 的动直线所形成的曲面是圆锥面,直线 l 叫做它的轴, 点 P0 称为顶点，定锐角 叫做半顶角，求该圆锥面的方程。 解：取直角坐标系，使坐标原点 O 为圆锥面顶点P0 , z 轴 为直线 l ,因而 l 的方向向量可选为 k 0,0,1 .
反过来，下列形式的三元二次方程
再经配方,得
I x y z Ax By Cz D , I

x a y b z c d a b c . 记 a b c d K .
点 P x, y, z 在圆锥面上 P0 P, v 或 ，


因而
P0 P v = cos P0 P v , cos P 0 P, v cos ,


即
因此所求的圆锥面方程为
3 2 x 1 2 y 2 z 3 3 2
维维安尼曲线
z ax a , 它的等价的方程组： a x y ax
x2 y 2 1 练习3：方程组 2 x 3 y 3z 6
表示怎样的曲线？
解： x 2 y 2 1 表示圆柱面，
2 x 3 y 3 z 6 表示平面，
x 1
2
y 2 z 3 ,
2 2
2 2 2 2 27 x 1 y 2 z 3 4 2x 2 y z 3 .
练习 1： 已知 A(1,2,3) ， B(2,1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程.
由点M到z轴的距离为a，列方程得，
x y a,
所求的圆柱面方程为 x y a
区分圆的方程
思考：若圆柱面的轴经过点 P ,且方向向量为 0 x0 , y0 , z0 v l, m, n ,又 a 为圆柱面的半径, 圆柱面的方程如何求？ 分析：根据向量外积的几何意义
F x, y, z .
方程叫做曲面的一般方程 曲面S 称为方程的图形 (x,y,z) 是曲面S上某个点的坐标 对于以x,y,z为变量的三元方程(或方程组)，它的所有 解对应的空间点的集合称为此方程(或方程组)的图像.
对于空间曲线 ，将它看成两个空间曲面的交线. 于是 把两个曲面的一般方程联立起来得到的方程组
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
截痕法
当K>0时 当K=0时 当K<0时
• 一个实球面 • 一个点 • 一个虚球面
①球面方程是一个平方项系数相等且 无交叉项的三元二次方程； ②任何一个三元二次方程，如果它的平方项系数 非零且相等，而且不含交叉项，那么它表示球面 (实球面、点或虚球面).
2.圆柱面
例3. 1.2 与一条定直线 l 的距离为常数 a 的点组成一 个曲面，它就是圆柱面， l 称为它的轴，a 叫做圆柱面的 半径.求圆柱面方程. 解: 选取直角坐标系以z轴为轴， 任取点 M ( x, y, z )
z
v
P
P0
o
y
P0 P v a v
点P 在该圆柱面上
x
圆柱面的向量式方程
习题5.（1）设圆柱面的半径为3，轴过点 P 0 1,0,2 ， 方向向量 v 1,2,3 ，求该圆柱面的方程。 P0 P v 3， 解 ： 点 P x, y, z 在该圆柱面上 v
2 2 x y 1 交线为椭圆. 2 x 3 y 3z 6
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1 的图形是怎样的？ 练习4：方程
解
根据题意有 z 1
z
用平面 z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
§3.1 图形和方程
1.球面 例3.1.1 求动点到定点 C x , y , z 距离为R 的轨迹。 依题意 C P R 解：设轨迹上动点为
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z
x 2 y 12 z 4 116 . 所求方程为 3 3 9
2 2
4.一般方程与图形
在选定空间直角（仿射）坐标系后, 曲面 S 通常用一 个含 x, y, z 的方程 F x, y, z 来表示，这是指曲面 S 上 每一点坐标都满足方程