第8章梁得弯曲应力梁在荷载作用下,横截面上一般都有弯矩与剪力，相应地在梁得横截面上有正应力与剪应力。

弯矩就是垂直于横截面得分布内力得合力偶矩;而剪力就是切于横截面得分布内力得合力。

所以,弯矩只与横截面上得正应力σ相关,而剪力只与剪应力τ相关。

本章研究正应力σ与剪应力τ得分布规律，从而对平面弯曲梁得强度进行计算。

并简要介绍一点得应力状态与强度理论。

8.1梁得弯曲正应力平面弯曲情况下,一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图8、1所示梁得AＣ、ＤＢ段。

而在CD段内,梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。

下面推导梁纯弯曲时横截面上得正应力公式。

应综合考虑变形几何关系、物理关系与静力学关系等三个方面。

8.１.1弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时得变形规律,可通过试验,观察弯曲变形得现象。

取一具有对称截面得矩形截面梁,在其中段得侧面上,画两条垂直于梁轴线得横线mｍ与nｎ,再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线aｂ与cd,如图8、2(a)所示。

然后按图8、１（a)所示施加荷载,使梁得中段处于纯弯曲状态。

从试验中可以观察到图8、２(b)情况:(１)梁表面得横线仍为直线,仍与纵线正交,只就是横线间作相对转动。

(２)纵线变为曲线,而且靠近梁顶面得纵线缩短,靠近梁底面得纵线伸长。

(３)在纵线伸长区,梁得宽度减小，而在纵线缩短区，梁得宽度则增加,情况与轴向拉、压时得变形相似。

根据上述现象,对梁内变形与受力作如下假设:变形后,横截面仍保持平面,且仍与纵线正交;同时,梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。

前者称为弯曲平面假设;后者称为单向受力假设。

根据平面假设,横截面上各点处均无剪切变形,因此，纯弯时梁得横截面上不存在剪应力。

根据平面假设,梁弯曲时部分纤维伸长,部分纤维缩短,由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变得过渡层,称为中性层,如图8、2(ｃ)所示。

中性层与横截面得交线称为中性轴。

对于具有对称截面得梁,在平面弯曲得情况下,由于荷载及梁得变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面得对称轴垂直。

综上所述,纯弯曲时梁得所有横截面保持平面,仍与变弯后得梁轴正交,并绕中性轴作相对转动,而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。

从梁中截取一微段dx,取梁横截面得对称轴为y轴,且向下为正,如图８、3 (b)所示,以中性轴为y轴,但中性轴得确切位置尚待确定。

根据平面假设,变形前相距为dx得两个横截面,变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度dθ，并仍保持为平面。

中性层得曲率半径为ρ,因中性层在梁弯曲后得长度不变,所以又坐标为y得纵向纤维ab变形前得长度为变形后为故其纵向线应变为（a)可见，纵向纤维得线应变与纤维得坐标ｙ成正比。

2、物理关系因为纵向纤维之间无正应力,每一纤维都处于单向受力状态,当应力小于比例极限时,由胡克定律知将(ａ）式代入上式,得(ｂ)这就就是横截面上正应力变化规律得表达式。

由此可知，横截面上任一点处得正应力与该点到中性轴得距离成正比，而在距中性轴为y得同一横线上各点处得正应力均相等,这一变化规律可由图８、4来表示。

3、静力学关系以上已得到正应力得分布规律,但由于中性轴得位置与中性层曲率半径得大小均尚未确定，所以仍不能确定正应力得大小。

这些问题需再从静力学关系来解决。

如图8、5所示,横截面上各点处得法向微内力σdA组成一空间平行力系，而且由于横截面上没有轴力,仅存在位于x－y平面得弯矩M,因此,(c)（d)(e）以式(b)代入式(c),得(ｆ）上式中得积分代表截面对z轴得静矩Sｚ。

静距等于零意味着ｚ轴必须通过截面得形心。

以式（ｂ)代入式(d),得(g）式中，积分就是横截面对y与z轴得惯性积。

由于ｙ轴就是截面得对称轴,必然有I yz=0,所示上式就是自然满足得。

以式(ｂ)代入式（e),得（h)式中积分(i)就是横截面对z轴(中性轴)得惯性矩。

于就是,(h)式可以写成(8、１)此式表明,在指定得横截面处，中性层得曲率与该截面上得弯矩M成正比,与ＥI z成反比。

在同样得弯矩作用下,EIＺ愈大,则曲率愈小,即梁愈不易变形，故ＥIｚ称为梁得抗弯刚度。

再将式(8、1)代入式（b),于就是得横截面上y处得正应力为(8、2)此式即为纯弯曲正应力得计算公式。

式中M 为横截面上得弯矩;I z 为截面对中性轴得惯性矩;y 为所求应力点至中性轴得距离。

当弯矩为正时，梁下部纤维伸长,故产生拉应力,上部纤维缩短而产生压应力;弯矩为负时，则与上相反。

在利用(8、2)式计算正应力时,可以不考虑式中弯矩M与ｙ得正负号,均以绝对值代入,正应力就是拉应力还就是压应力可以由梁得变形来判断。

应该指出,以上公式虽然就是纯弯曲得情况下,以矩形梁为例建立得，但对于具有纵向对称面得其她截面形式得梁,如工字形、Ｔ字形与圆形截面梁等仍然可以使用。

同时,在实际工程中大多数受横向力作用得梁，横截面上都存在剪力与弯矩,但对一般细长梁来说，剪力得存在对正应力分布规律得影响很小。

因此,(8、2)式也适用于非纯弯曲情况。

8.1.2最大弯曲正应力由式(8、2)可知,在y=ｙmａx即横截在由离中性轴最远得各点处,弯曲正应力最大,其值为式中，比值Ｉz/ｙｍax仅与截面得形状与尺寸有关,称为抗弯截面系数，也叫抗弯截面模量。

用Ｗz表示。

即为（8、３)于就是,最大弯曲正应力即为(8、４)可见,最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。

抗弯截面系数综合反映了横截面得形状与尺寸对弯曲正应力得影响。

图８、6中矩形截面与圆形截面得抗弯截面系数分别为(8、5)(8、6)而空心圆截面得抗弯截面系数则为(8、7）式中ɑ＝ｄ/D,代表内、外径得比值。

至于各种型钢截面得抗弯截面系数,可从型钢规格表中查得(见附录）。

例8、1图８、7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载Ｆ作用,已知：h=18ｃm,b=12cm，y=6cm，a=2m,F=1、5KN。

计算A截面上K 点得弯曲正应力。

解先计算截面上得弯矩截面对中性轴得惯性矩则A截面上得弯矩为负,K点就是在中性轴得上边，所以为拉应力。

8、2 平面图形得几何性质构件在外力作用下产生得应力与变形,都与构件得截面得形状与尺寸有关。

反映截面形状与尺寸得某些性质得一些量,如拉伸时遇到得截面面积、扭转时遇到得极惯性矩与这一章前面遇到得惯性矩、抗弯截面系数等,统称为截面得几何性质。

为了计算弯曲应力与变形,需要知道截面得一些几何性质。

现在来讨论截面得一些主要得几何性质。

8.2.1形心与静矩若截面形心得坐标为y C与z C（C为截面形心),将面积得每一部分瞧成平行力系，即瞧成等厚、均质薄板得重力,根据合力矩定理可得形心坐标公式(a)静矩又称面积矩。

其定义如下，在图8、8中任意截面内取一点M(z,y）,围绕M点取一微面积dＡ,微面积对z轴得静矩为ydＡ，对y轴得静矩为zｄA,则整个截面对z与y轴得静矩分别为:(b)有形心坐标公式知:（c)上式中yＣ与z C就是截面形心C得坐标,A就是截面面积。

当截面形心得位置已知时可以用上式来计算截面得静矩。

从上面可知,同一截面对不同轴得静矩不同，静矩可以就是正负或就是零;静矩得单位就是长度得立方,用ｍ3或cｍ3、mｍ３等表示；当坐标轴过形心时,截面对该轴得静矩为零。

当截面由几个规则图形组合而成时，截面对某轴得静矩，应等于各个图形对该轴静矩得代数与。

其表达式为(ｄ)（ｅ)而截面形心坐标公式也可以写成(f)(g）8.2.2惯性矩、惯性积与平行移轴定理在图8、8中任意截面上选取一微面积dA，则微面积ｄA对z轴与y轴得惯性矩为z2d Ａ与Ｙ２dＡ。

则整个面积对ｚ轴与y轴得惯性矩分别记为Iｚ与Ｉy，而惯性积记为I zｙ,则定义:(h）(ｉ）极惯性矩定义为:（j)从上面可以瞧出，惯性矩总就是大于零，因为坐标得平方总就是正数,惯性积可以就是正、负与零;惯性矩、惯性积与极惯性矩得单位都就是长度得四次方,用m４或ｃm4、mm４等表示。

同一截面对不同得平行得轴,它们得惯性矩与惯性积就是不同得。

同一截面对二根平行轴得惯性矩与惯性积虽然不同,但它们之间存在一定得关系。

下面讨论二根平行轴得惯性矩、惯性积之间得关系。

图8、9所示任意截面对任意轴对ｚ´轴与y´轴得惯性矩、惯性积分别为Ｉz´、I y´与I zˊ。

过形心Ｃ有平行于z´、y´得两个坐标轴ｚ与ｙ,截面对z、ｙ轴得惯性矩与惯性积为I yˊｚ、Iｙ与Ｉzy。

对o z´y´坐标系形心坐标为C(a,b)。

截面上选取微面积dA，dＡ得形心坐标为则按照惯性矩得定义有上式中第一项为截面对过形心坐标轴y轴得惯性矩;第三项为面积得ａ2倍；而第二项为截面过形心坐标轴y轴静矩乘以2a 。

根据静矩得性质，对过形心轴得静矩为零,所以第二项为零。

这样上式可以写为(k)同理可得:(l）(m)也就就是说,截面对于平行于形心轴得惯性矩,等于该截面对形心轴得惯性矩再加上其面积乘以两轴间距离得平方;而截面对于平行于过形心轴得任意两垂直轴得惯性积,等于该面积对过形心二轴得惯性积再加上面积乘以相互平行得二轴距之积。

这就就是惯性矩与惯性积得平行移轴定理。

例８、2 计算图8、10 所示Ｔ 形截面得形心与过它得形心z 轴得惯性矩。

解 (1)确定截面形心位置选参考坐标系oz ´y ´,如图8、10所示。

将截面分解为上面与下面两个矩形部分,截面形心Ｃ得纵坐标为（2)计算截面惯性矩上面矩形与下面矩形对形心轴ｚ得惯性矩分别为49214923249231101.211032.131732008008002001211075.727710010001001000121mm I I I mm I mm I z z z z z ⨯=+=⨯=⨯⨯+⨯⨯=⨯=⨯⨯+⨯⨯=8.3 梁得弯曲剪应力当进行平面弯曲梁得强度计算时，一般来说，弯曲正应力就是支配梁强度计算得主要因素,但在某些情况上,例如,当梁得跨度很小或在支座附近有很大得集中力作用,这时梁得最大弯矩比较小，而剪力却很大,如果梁截面窄且高或就是薄壁截面,这时剪应力可达到相当大得数值,剪应力就不能忽略了。

下面介绍几种常见截面上弯曲剪应力得分布规律与计算公式。

8.3.1矩形截面梁得弯曲剪应力图8、11(ａ）所示矩形截面梁,在纵向对称面内承受荷载作用。

设横截面得高度为ｈ,宽度为b,为研究弯曲剪应力得分布规律,现作如下假设：横截面上各点处得剪应力得方向都平行于剪力，并沿截面宽度均匀分布。

有相距dx 得横截面从梁中切取一微段,如图8、12（a)。

然后，在横截面上纵坐标为y处,再用一个纵向截面ｍ－n,将该微段得下部切出,如图8、12（b)。

设横截面上y处得剪应力为τ,则由剪应力互等定理可知,纵横面ｍ-n上得剪应力τ’在数值上也等于τ。