y0 和
h y 2
FS BH 2 b Bh2 max (1 ) Iz b 8 B 8
计算结果表明：
FS1 (0.95 ~ 0.97) FS
腹板内的剪应力近似计算公式
FS BH 2 Bh2 min 8 8 Iz b
I z 25.6cm4 b 4.8cm y1 1.52cm
（3）求最大应力
t ,max
M max y1 (3000N m)(1.52102 m) 178 .1MPa -8 4 25.610 m Iz
M max y2 (3000N m) (4.8 1.52) 102 m 384 .4MPa c,max -8 4 25.610 m Iz
应力 c =160 MPa。已知中性轴位置 y1 = 52 mm，截面对形心轴 z
的惯性矩为 Iz=763 cm4。试校核梁的强度。 解： 1.计算支反力
FA 2.5kN
FA FB
FB 10.5kN
2.绘弯N m
8 梁的弯曲应力与强度计算
3.选择截面尺寸
A,B截面最危险，该截面
bh2 b(2b) 2 2b3 Wz 6 6 3
8 梁的弯曲应力与强度计算
M max Fa 12kN m
8.2 弯曲正应力的强度条件
bh2 b(2b) 2 2b3 Wz 6 6 3
强度条件
M max M max 3 Wz 2b / 3
A
(c) (d) (e)
M y z dA 0
A
M z y dA M e
A
将式 E
y

代入式(c)，得
dA
A
Ey
A

dA 0
E

＝常量，
E


A
y dA 0 S z 0 z 轴（中性轴）通
过截面形心。
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
对于抗拉和抗压强度相等的材料 (如炭钢)，只要绝对值最大
的正应力不超过许用弯曲应力即可。 对于抗拉和抗压不等的材料 (如铸铁)，则最大的拉应力和最 大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
例：20a工字钢梁。若 160MPa ，试求许可荷载 F 。 解：（1）计算支反力
y

(b)
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y 成正比。 在中性轴上：y＝0， σ ＝0。
8 梁的弯曲应力与强度计算 静力学关系
FN dA
A
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
M y z dA
A
M z y dA
A
FN dA 0
公式就可适用。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力
在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不 但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E
y

(b)
M y z dA 0
A
(d) (e)
将式(b)代入式(d)，得
M z y dA M
A
z dA
A
E
A
y z dA 0
y z dA I yz 0
A
(自然满足)
应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，
足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
My Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
例： 已知 l=1m，q=6kN/m，10号槽 钢。求最大拉应力和压应力。 解：（1）作弯矩图 1 2 M max ql 3000 N m 2 （2）由型钢表查得，10号槽钢


8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应 力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
max
引用记号
M max ymax Iz
Iz Wz ymax
则
M max max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
工 程 力 学
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8
梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。
式(a)表明线应变ε与它到中性层的距
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
y d d
物理关系：
d

y

(a)
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。 当应力小于比例极限时，由胡克定律知
E
将 (a) 代入上式，得
E
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
变形几何关系：
设横截面的对称轴为y 轴，向下为 正，中性轴为 z 轴（位置未定）。
bb y d
bb dx OO OO d
y d d
d
离 y 成正比。

y

(a)
8 梁的弯曲应力与强度计算 剪应力计算公式为
* FS S z I zb
8.3 梁的剪应力及其强度条件
h/ 2 y h S b y y 2 2
* z
b h2 y2 2 4
FS 2I z
h2 2 4 y
8.2 弯曲正应力的强度条件
M B 4kN m
M C 2.5kN m
3.强度校核
M B y1 (4 103 N m)(52103 m) t ,max 27.3MPa t 8 4 Iz 76310 m M B y2 (4 103 N m)(88103 m) c,max 46.1MPa c 8 4 Iz 76310 m C截面： M C y2 (2.5 103 N m)(88103 m) t ,max 28.8MPa t 8 4 Iz 76310 m
FS B 2 b h2 FS S z 2 2 H h y Iz b 8 2 4 Iz b
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.3 梁的剪应力及其强度条件
FS B 2 b h2 2 2 H h y Iz b 8 2 4
Iz D 4 (1 4 ) / 64 D 3 (1 4 ) Wz 32 ymax D/2
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就 是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件为
max
M max Wz
B截面：
故该梁满足强度条件。
8 梁的弯曲应力与强度计算 8.3.1 梁的弯曲剪应力
8.3 梁的剪应力及其强度条件
1. 矩形截面梁的弯曲剪应力
关于横截面上剪应力的分布
规律，作以下两个假设：
(1) 横截面上各点的剪应力的方 向都平行于剪力FS； (2) 剪应力沿截面宽度均匀分布。 在截面高度 h 大于宽度 b 的情况下，以上述假设为基础得到 的解，与精确解相比有足够的准确度。
FS bh
max min
8 梁的弯曲应力与强度计算 3. 圆形截面梁的弯曲剪应力 横截面上弯曲剪应力分布的假设 (1) ab 弦上各点的剪应力都汇交于
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众
多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也
不缩短的一层纤维。 中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动） 中性轴垂直于纵向对称面。
M y Iz
1
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。
以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。 只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
bh3 / 12 bh2 Iz Wz h/2 6 ymax
对于直径为 D 的圆形截面
Iz D 4 / 64 D 3 Wz D/2 ymax 32
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
称为纯弯曲。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力 实验观察变形 纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。 横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。 平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。 单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。