矩形梁截面上的切应力分布
V
V为横截面上的剪力
Sz* A*yc* (h2y)by12(h2y)
b h2 (
y2)
24
Sz*为面积A*对 中性轴的静矩
V
A*
最大剪应力
maxFsmIaSxZbZ,max
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V 3 FVS 2 A 17
bh 3 I z 12
讨论
1、沿高度方向抛物线分布
(y)
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8
弯曲中
梁的中性层neutral surface —— 既不伸长又不缩短的纵面
截面的中性轴neutral ax精is选—ppt— 中性层与横截面的交线
9
纯弯曲时正应力公式
变形几何关系 y
物理关系 E
E y
静力学关系 1 M
EI Z
为曲率半径
1
My
IZ
为梁弯曲变形后的曲率
transverse force
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4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
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5
实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
60 10 3 180 10 3
2 5 .832 10 5
92 .55 10 6 Pa 92 .55 MPa
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14
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
120
3. 全梁最大正应力
B
x
180
K
30 最大弯矩 z M ma x6.7 5kN m
FBY
y
截面惯性矩
FS 90kN
B y
b(h2y)y12(h2y)B 8(H2
h2
)b(h2 24
y2
)
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19
(y)IV zb B 8(H2h2)b 2(h 42y2)
讨论
B
1、沿腹板高度方向抛物线分布
hH
2、y=0时，切应力值最大
3、腹板上下边处切应力最小
maxIVzbB8H 2 (Bb)h82 minIVzbB 8 H2h2
截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
P124例题9-13精选p源自t12q=60kN/m
A
1m
C
l = 3m
V 90kN
M ql /867.5kNm 2
1.C 截面上K点正应力
120
2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
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T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
x
90kN
Iz5.83120 5m 4
max
M max y max IZ
67 .5 10 3 180 10 3
2 5.832 10 5
M ql /867.5kN m 2
x
104 .17 10 6 Pa 104 .17 MPa
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15
q=60kN/m
120
4. C 截面曲率半径ρ
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10
梁截面上正应力
1、沿 y 轴线性分布
z
2、与 z 坐标无关
M y
Iz
y
minM Iz ymi n cmax
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M
I y max
max z
tmax
11
正应力计算公式适用范围
M y Iz
剪力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度
l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时，弹性力学指出：上述公式 近似成立
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
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6
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7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁弯曲假设：
横截面保持为平面 —— 变形后，仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕 梁上某一轴转过一个角度
纵向各水平面间无挤压 —— 均为单向拉、压状态
V
h2 (
y2)
2IZ 4
3V (1 4 y 2 )
2bh h 2
2、y=0时，切应力值最大 3、梁上下表面处切应力为零
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18
工字形梁腹板上的切应力分布
(y)
S
* z
V
Izb
腹板为矩形截面时
Hh
翼板
t b
z
y 腹板
S*z A*•y*c
A*
B(H 2 h2)h212(H 2 h2)
第九章 梁的弯曲
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1
第九章 梁的弯曲
§9-1、平面弯曲 §9-2、梁的弯曲内力---剪力和弯矩 §9-3、用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 §9-4、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 §9-5、用叠加法画弯矩图 §9-6、梁弯曲时的应力和强度计算 §9-7、梁的变形 §9-8、梁的应力状态
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y
C 截面的曲率半径ρ
解：1. 求支反力 FAy90kN FBy 90kN
M C 9 1 0 6 1 0 0 .5 6k 0 m N
x 90kN
IZb 13h 2 0 .11 2 0 .1 238 5 .83 12 5 0 m 4
K
MC yK IZ
60103 (18030)103 2
5.832105
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20
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件
σmax
M
y max max Iz
σ
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
t,max t
c,max c
x
61.7106Pa61.7MPa
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13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
A
1m
FAY
C
l = 3m
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
FS 90kN
x
IZ5.83120 5m 4 1M
EI
M
90kN
ql2 /867.5kNm
C
EIZ MC
200109 5.832105 60103
194.4m
x
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16
二、弯曲剪应力 Shearing stress in bending beam