定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a
(n N)
yn
b, 且若正整数N ,
当n N时,有xn yn ,则必有a b.
证: 反设 a<b, 正整数N1 , 当n > N1时, 有xn< yn. 取 N2 = max{N, N1}, 则当 n > N2 ( N)时,
有 xn< yn. 此与条件矛盾，故 a b .
子列
所谓数列{xn} 子列，就是从数列 x1, x2, , xn, 中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右 排成一个新的数列， 这个数列称为{xn}的子列.
1
n
3n
2 3
n
1
3
第二节函数的极限
类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对
应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定
的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。
对于数列极限 lim 1 0 n n
lim 1 0 x x
lim 1 0 x x
注：由定理5，若{ xn } 的两个子列一个收敛于 a , 而另一个收敛于 b，且 ab, 则{xn}发散；
或者，{xn}中有一个子列发散，则{xn}发散.
例,
xn
1
(1) n 2
,
0, 1, 0, 1, 发散.
例,
xn
sin
n
2
, 1,
0,
1,
0,
1,
0,
1,
0,
发散.
若
lim
很自然地
故 lim 1 0 x x
又如：当 x 1时，x 1 2 ，记作
lim(x 1) 2
x1
相似地 lim(x2 1) 1 x0
自变量趋于无穷大时函数的极限
如果 x 无限增加(记作x )
y
AA
时，函数值 f (x)可以无限逼近
A
常数A,则称常数A是函数f (x)在
X
x<-X
0<|x - x 0 |<
0<x - x 0 < (即 x 0 <x < x 0 +)
- <x - x 0 < 0 (即 x 0 - <x < x 0)
18/25
y
考虑符号函数
1
o
x
-1
现在考虑 x 从左右两个方向趋于0时 f (x) 的极限 从右边趋于0
右极限
从左边趋于0
不为零，但无限接近零
刘徽割圆术
割之弥细，所失弥少，割之又割，以 致于不可割，则与圆周合体而无所失矣
数列的概念
数列 就是指按自然数编了号的一列数
a1, a2 , a3 , an ,
记为 {an }, 其中 an 称为该数列的通项。
几个数列的例子:
2n
2，4，8，... , 2n ，... ,
n
n
1
1n1
1, 2, 3, 234
,n, , n 1
1, 1, 1, , (1)n1 ,
引例：考察数列an，an
1
(1)n1 n 1
n 1, 2,
3, 2, 5, 4, 7, 6, 234567
n 10
30
39
50
99
1000
…
an 0.9000 0.96775 1.02500 0.98040 1.01000 0.99901 …
x
lim f (x) A 0, M 0, x M时, f (x) A <
x
从图像容易看出结果
0
0
所以
观察 y = arctan x 的图像
lim arctan x 不存在
x
y y=1/x
o
x
y
y=arctan x
o x
a 1
考虑函数 f (x) = ax , 分 a>1,, 0<a<1两种情形下，
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a , )
(n N)
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例如,
1 2
1
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
分别求 x → +∞, x →－∞， x →∞时 f (x)的极限。
0 a 1
y
y
o
x
o
x
所以，a 1或0 a 1时， lim ax 都不存在。 x
自变量趋于有限值时函数的极限
即
度量 f (x) 与 A的接近程度 度量 x 与 a 的接近程度
注意事项： （1）定义中 x→a的过程中, x≠a 成立。
1
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特别
给定
1 100
,
由
1 n
1 100
,
只要
n
100时,
有
xn
1 1 , 100
给定 1 ,
1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 ,
10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1。 10000
注意: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给
比如，x2, x5, x14, , x78, 就是{xn}的一个子列
子列中第一项记作xn1 , 第二项记作xn2 ,, 第 k 项 记作xnk , 子列记作{xnk }
上列中n1=2, n2=5, n3=14等.
定理5.
lim
n
xn
a 的充要条件是 {xn}的任何子列
都收敛,且都以 a 为极限.
(2) lim
1
n
n
(3) lim( n 1 n) lim
1
0
n
n n 1 n
(4) lim 0.99 99 1 n n个
(2)n1 3n1 (5) lim
n (2)n 3n
lim
3n1
2 3
n1
1
右极限 right-hand limit
x 仅从 a 的右侧趋于a ， 记作
xa
a
或 f (a 0) A , f( a )
函数f (x)当x a时极限存在
左极限与右极限都存在,并且相等
lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a
x
（2） x a 0 x a 0
（3）极限值 lim f (x) 与函数值 f (a) 无关。 xa
几何解释:
y
A
A
A
y f (x)
o a a a
x
9/25
左极限与右极限
左极限 left-hand limit
x 仅从 a 的左侧趋于a ， 记作
xa
a
或 f (a 0) A , f ( a )
设 f (x)是定义域为D 的基本初等函数，对x0 D，有
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
若函数f (x)是定义在区间I上的初等函数，对x0 I
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化 为该点函数值的计算。
无穷 小
如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零， 那么就称 f (x)是此极限过程的无穷小（量）
定理4(局部保序性) 若存在>0, 使当0<|xx0|< 时,
lim f ( x ) a, lim g( x ) b, 则 a b(或a b).
xx0
xx0
定理5(局部有界性)
如果 lim f (x) 存在，则函数 f (x)在点 a 的某个去心邻域内有界。 xa
初等函数的极限性质
an 1 0.10000 0.03225 0.02500 0.01960 0.01000 0.00099 …
当 n 越来越大时，an 1 越来越小，而且不管先指定一个多么小的
正数 （ 如 0.0001)，一定可以找到数列的某一项aN (如N 1000), 使得 对aN后面的每一项an 都有 an 1 , 我们就说数列an以1为极限。
左极限
左右极限不相等
例题
x 1 x 0
f
(x)
0
x0
x 1 x 0
lim(x 1) 1
x0
lim f (x)
x0
y
o
x
lim f (x)不存在
x0
设函数
f (x)
x2
x 0 在 x 0 时的极限存在，求 a.
